【解答】すべり台と壁を往復する小球

(1)

求める小球およびすべり台の速さを $v_0,V_0$ とおくと，運動量保存により

$0 = mv_0 - MV_0 \qquad \therefore V_0 = \frac{v_0}{\alpha}$

また，エネルギー保存により，

$mgh = \frac{1}{2}m{v_0}^2 + \frac{1}{2}M{V_0}^2 = \frac{1}{2}m{v_0}^2\left(1+\frac{1}{\alpha}\right)$

したがって，両式より

$v_0 = \sqrt{\frac{\alpha\cdot 2gh}{\alpha+1}}, \qquad V_0 = \sqrt{\frac{2gh}{\alpha(\alpha+1)}}$

(2)

小球が最高点に上がったときの両者の速さを $V$ とおくと，運動量保存により

$MV_0 + mv_0 = (M+m)V \quad {\rm i.e.}\quad 2v_0 = (\alpha+1)V \quad \therefore V = \frac{2v_0}{\alpha+1}$

求める高さを $l$ とおくとエネルギー保存により，

$mgh = \frac{1}{2}(M+m)V^2 + mgl\qquad \therefore l = h - \frac{2v_0^2}{g(\alpha+1)} = \left(\frac{\alpha-1}{\alpha+1}\right)^2\;h$

(3)

再度小球がすべり台を離れるときの，小球およびすべり台の速さを $v_1,V_1$ とおくと，運動量保存により

$MV_0 + mv_0 = MV_1 - mv_1 \qquad {\rm i.e.} \quad 2v_0 = \alpha V_1 - v_1$

また，力学的エネルギー保存より両者の相対速さは変化しないから（はねかえり係数=1），

$v_0 - V_0 = v_1 + V_1$

両式から，

$v_1 = \frac{\alpha - 3}{1 + \alpha}\;v_0 ,\quad V_1 = \frac{3\alpha - 1}{\alpha(\alpha+1)}\;v_0$

再び小球がすべり台に追いつく条件は，

$v_1 - V_1 &gt; 0$

すなわち，

$\frac{\alpha-3}{\alpha+1} - \frac{3\alpha-1}{\alpha(\alpha+1)} > 0$

これを解いて，

$\alpha > 3+2\sqrt{2}$

※ Algodoo の設定は， $m=1000{\rm [kg]},\alpha=10,h=100{\rm [m]}$ 。精度をよくするために巨大化した（特にすべり台=ポリゴンのすべり損失をおさえる効果あり）。

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最終更新：2009年12月10日 15:04

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