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****【解答】斜面上の斜方投射と弾性衝突
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(1)
原点（投射点）から斜面に垂直上方に $$y$$ 軸をとる。$$x$$方向，$$y$$方向ともに等加速度運動となる。すると，$$y$$座標が最大となるとき速度の$$y$$成分が0となり，衝突までの時間 $$t_1$$ は最高点までの２倍だから
$$v_0\sin\theta - g\cos\alpha\cdot \frac{t_1}{2} = 0\quad \therefore t_1=\frac{2v_0\sin\theta}{g\cos\alpha}$$
衝突は完全弾性衝突だから，速度の $$y$$ 成分は衝突直前直後で符号を変えるだけで，大きさは変わらない。また，斜面はなめらかだから速度の $$x$$ 成分は衝突直前直後で変わらない。衝突時の速度の $$y$$ 成分の大きさは $$v_0\sin\theta$$ に保たれ，衝突ごとに同じ速度成分で打ち上げられることになる。すなわち，衝突間の経過時間は等しい。$$n$$ 回目の衝突までの時間は，
$$t_n = nt_1 = \frac{2nv_0\sin\theta}{g\cos\alpha}$$
また，そのときの $$x$$ 座標は
$$x_n = v_0\cos\theta\cdot t_n - \frac{1}{2}g\sin\alpha\cdot {t_n}^2$$
$$\qquad = \frac{2n{v_0}^2\sin\theta}{g\cos^2\alpha}\left(\cos\theta\cos\alpha - n\sin\theta\sin\alpha\right)$$
となる。
(2)
$$x_3=0$$ により，
$$\cos\theta\cos\alpha - 3\sin\theta\sin\alpha = 0 \quad \therefore \tan\theta\tan\alpha = \frac{1}{3}$$
を得る。
なお，別解として3回めの衝突までの時間 $$t_3 = 3t_1$$ が， $$x=0$$ すなわち $$y$$ 軸上にもどるまでの時間に等しいとおいて
$$\frac{6v_0\sin\theta}{g\cos\alpha} = \frac{2v_0\cos\theta}{g\sin\alpha} \quad \therefore \tan\theta\tan\alpha = \frac{1}{3}$$
と求めることもでき，こちらの方が計算の見通しはよく，エレガントといえるかもしれない。$$\alpha=\theta=\pi/6$$ は条件を満たす角度の一例である。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=323&file=shamen.bmp)
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