【解答】斜面上の斜方投射と弾性衝突

(1)

原点（投射点）から斜面に垂直上方に $y$ 軸をとる。 $x$ 方向， $y$ 方向ともに等加速度運動となる。すると， $y$ 座標が最大となるとき速度の $y$ 成分が0となり，衝突までの時間 $t_1$ は最高点までの２倍だから

$v_0\sin\theta - g\cos\alpha\cdot \frac{t_1}{2} = 0\quad \therefore t_1=\frac{2v_0\sin\theta}{g\cos\alpha}$

衝突は完全弾性衝突だから，速度の $y$ 成分は衝突直前直後で符号を変えるだけで，大きさは変わらない。また，斜面はなめらかだから速度の $x$ 成分は衝突直前直後で変わらない。衝突時の速度の $y$ 成分の大きさは $v_0\sin\theta$ に保たれ，衝突ごとに同じ速度成分で打ち上げられることになる。すなわち，衝突間の経過時間は等しい。 $n$ 回目の衝突までの時間は，

$t_n = nt_1 = \frac{2nv_0\sin\theta}{g\cos\alpha}$

また，そのときの $x$ 座標は

$x_n = v_0\cos\theta\cdot t_n - \frac{1}{2}g\sin\alpha\cdot {t_n}^2$
$\qquad = \frac{2n{v_0}^2\sin\theta}{g\cos^2\alpha}\left(\cos\theta\cos\alpha - n\sin\theta\sin\alpha\right)$