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【解答】水平面との無限回衝突 - (2010/01/30 (土) 23:19:11) のソース

****【解答】水平面との無限回衝突
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【問題】$$\rightarrow$$　[[水平面との無限回衝突]]
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=342&file=Infinity.bmp)


(1)

$$0^2 - {v_1}^2 = 2(-g)h_1 \qquad \therefore h_1 = \frac{{v_1}^2}{2g}$$

最高点までの時間が $$t_1/2$$ だから，

$$t_1 = \frac{2v_1}{g}$$

$$\therefore d_1 = ut_1 = \frac{2uv_1}{g}$$

(2)

運動の対称性から，衝突直後と次の衝突直前の速度の $$y$$ 成分の大きさは等しいから，

$$v_n = ev_{n-1} = e^{n-1}v_1$$

$$h_n = e^2h_{n-1} = e^{2(n-1)}h_1 = e^{2(n-1)}\cdot\frac{{v_1}^2}{2g}\quad \because h_n = \frac{{v_n}^2}{2g} = \frac{e^2{v_{n-1}}^2}{2g} = e^2h_{n-1}$$

$$t_n = et_{n-1} = e^{n-1}t_1 = e^{n-1}\cdot\frac{2v_1}{g}\quad \because t_n = \frac{2v_n}{g} = \frac{2ev_{n-1}}{g} = et_{n-1}$$

$$d_n = ed_{n-1} = e^{n-1}d_1 = e^{n-1}\cdot\frac{2uv_1}{g} \quad \because d_n = \frac{2uv_n}{g} = \frac{2euv_{n-1}}{g} = ed_{n-1}$$

(3)

求める合計時間は，

$$T = \sum_{n=1}^\infty t_n = \sum_{n=1}^\infty e^{n-1}t_1 = \frac{t_1}{1-e} = \frac{2v_1}{(1-e)g}$$

また，求める $$x$$ 座標は，

$$X = \sum_{n=1}^\infty d_n = \sum_{n=1}^\infty e^{n-1}d_1 = \frac{d_1}{1-e} = \frac{2uv_1}{(1-e)g}\qquad {\rm or} \quad X = uT = \frac{2uv_1}{(1-e)g}$$

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=343&file=Infinity1.bmp)
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