【解答】水平面との無限回衝突

【問題】 $\rightarrow$ 　水平面との無限回衝突

(1)

$0^2 - {v_1}^2 = 2(-g)h_1 \qquad \therefore h_1 = \frac{{v_1}^2}{2g}$

最高点までの時間が $t_1/2$ だから，

$t_1 = \frac{2v_1}{g}$

$\therefore d_1 = ut_1 = \frac{2uv_1}{g}$

(2)

運動の対称性から，衝突直後と次の衝突直前の速度の $y$ 成分の大きさは等しいから，

$v_n = ev_{n-1} = e^{n-1}v_1$

$h_n = e^2h_{n-1} = e^{2(n-1)}h_1 = e^{2(n-1)}\cdot\frac{{v_1}^2}{2g}\quad \because h_n = \frac{{v_n}^2}{2g} = \frac{e^2{v_{n-1}}^2}{2g} = e^2h_{n-1}$

$t_n = et_{n-1} = e^{n-1}t_1 = e^{n-1}\cdot\frac{2v_1}{g}\quad \because t_n = \frac{2v_n}{g} = \frac{2ev_{n-1}}{g} = et_{n-1}$

$d_n = ed_{n-1} = e^{n-1}d_1 = e^{n-1}\cdot\frac{2uv_1}{g} \quad \because d_n = \frac{2uv_n}{g} = \frac{2euv_{n-1}}{g} = ed_{n-1}$

(3)

求める合計時間は，

$T = \sum_{n=1}^\infty t_n = \sum_{n=1}^\infty e^{n-1}t_1 = \frac{t_1}{1-e} = \frac{2v_1}{(1-e)g}$

また，求める $x$ 座標は，

$X = \sum_{n=1}^\infty d_n = \sum_{n=1}^\infty e^{n-1}d_1 = \frac{d_1}{1-e} = \frac{2uv_1}{(1-e)g}\qquad {\rm or} \quad X = uT = \frac{2uv_1}{(1-e)g}$

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最終更新：2010年01月30日 23:19

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