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運動エネルギーの相対性 - (2010/01/31 (日) 11:13:46) のソース

****運動エネルギーの相対性
[[OKWave>http://okwave.jp/qa/q5621531.html]]のQ&Aより。運動エネルギーの相対性とエネルギー保存の絶対性について。
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長いので引用は避けるが，要点は次の通りである。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=350&file=OKW5621531.bmp)


一定の加速度で加速する車を観測する。静止系 $${\rm S}$$ では，時刻 $$0$$ に速度 $$v$$ だった車が，時刻 $$t$$ に速度 $$2v$$，そして時刻 $$2t$$ に速度 $$3v$$ になったとする。すると時間 $$0 \sim t$$ に得たエネルギー $${\it\Delta}E_1$$ に対する，時間 $$t \sim 2t$$ に得たエネルギー $${\it\Delta}E_2$$ の比は，

$$\frac{{\it\Delta}E_2}{{\it\Delta}E_1} = \frac{(3v)^2-(2v)^2}{(2v)^2-v^2} = \frac{5}{3}$$

となる。後半の方がエンジンの仕事率は1.67倍に増えなければならない。

これを $${\rm S}$$ に対して $$v$$ の速度をもつ慣性系 $${\rm S}^\prime$$ で観測すると，

$$\frac{{\it\Delta}{E_2}^\prime}{{\it\Delta}{E_1}^\prime} = \frac{(2v)^2-v^2}{v^2-0^2} = 3$$

となり，後半のエンジンの仕事率は3倍になってしまう。この矛盾をどう考えたらいいだろうか？　・・・というわけだ。

運動エネルギーは，座標系によって変換されるからもとより相対的である。しかし，エネルギー保存は絶対的でなければならないだろう。さて，議論のどこがおかしいか？

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=350&file=OKW5621531-2.bmp)


エンジンがする仕事は，車の推進において力を及ぼしあう「系」に対してであることを見逃してはならない。つまり，上の議論には地球が抜けている。以下，自転・公転といったもともとの地球の運動は無視し，初め車も地球も静止しているとする。また，車の質量 $$m$$，地球の質量 $$M$$ とする。

たとえば，$${\rm S}$$ 系において車が速度 $$v$$ から $$2v$$ に加速すると，運動量保存により地球は後方へ速度 $$u=m/M\cdot v$$ から $$2u$$ に加速することになる。このとき，

$$\frac{{\it\Delta}E_2}{{\it\Delta}E_1} = \frac{\displaystyle\frac{5}{2}mv^2+\frac{5}{2}Mu^2}{\displaystyle\frac{3}{2}mv^2+\frac{3}{2}Mu^2} = \frac{5}{3}$$

一方，$${\rm S}^\prime$$ 系から見ると，

$$\frac{{\it\Delta}{E_2}^\prime}{{\it\Delta}{E_1}^\prime} = \frac{\displaystyle\frac{3}{2}mv^2 + \frac{1}{2}M\{(v+3u)^2-(v+2u)^2\}}{\displaystyle \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}M\{(v+2u)^2-(v+u)^2\}} = \frac{\displaystyle\frac{5}{2}mv^2-\frac{5}{2}Mu^2}{\displaystyle\frac{3}{2}mv^2-\frac{3}{2}Mu^2} = \frac{5}{3}$$

となり，矛盾のないことが示される。

もう少し簡明にするために微分を使えば，運動量保存により，車の速度変化 $${dv}$$ に対して地球の速度変化は $$du = m/M\cdot dv$$ であり，このときエネルギー変化は

$$dE = d\left(\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}Mu^2\right) = mvdv+Mudu = m(v+u)dv$$

これを $${\rm S}$$ 系に対して速度 $$v_0$$ をもつ $${\rm S}^\prime$$ 系から見れば，

$$dE^\prime = d\left(\frac{1}{2}m(v-v_0)^2+\frac{1}{2}M(u+v_0)^2\right) = m(v-v_0)dv+M(u+v_0)du = m(v+u)dv$$

となる。座標系を移ったときに，$$mv_0dv$$　のエネルギーが車から地球に移行したと見ることができる。まさに運動エネルギーは相対的だが，エネルギー保存は絶対的である。
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