運動エネルギーの相対性

OKWaveのQ&Aより。運動エネルギーの相対性とエネルギー保存の絶対性について。

長いので引用は避けるが，要点は次の通りである。

一定の加速度で加速する車を観測する。静止系 ${\rm S}$ では，時刻 $0$ に速度 $v$ だった車が，時刻 $t$ に速度 $2v$ ，そして時刻 $2t$ に速度 $3v$ になったとする。すると時間 $0 \sim t$ に得たエネルギー ${\it\Delta}E_1$ に対する，時間 $t \sim 2t$ に得たエネルギー ${\it\Delta}E_2$ の比は，

$\frac{{\it\Delta}E_2}{{\it\Delta}E_1} = \frac{(3v)^2-(2v)^2}{(2v)^2-v^2} = \frac{5}{3}$

となる。後半の方がエンジンの仕事率は1.67倍に増えなければならない。

これを ${\rm S}$ に対して $v$ の速度をもつ慣性系 ${\rm S}^\prime$ で観測すると，

$\frac{{\it\Delta}{E_2}^\prime}{{\it\Delta}{E_1}^\prime} = \frac{(2v)^2-v^2}{v^2-0^2} = 3$

となり，後半のエンジンの仕事率は3倍になってしまう。この矛盾をどう考えたらいいだろうか？　・・・というわけだ。

運動エネルギーは，座標系によって変換されるからもとより相対的である。しかし，エネルギー保存は絶対的でなければならないだろう。さて，議論のどこがおかしいか？

エンジンがする仕事は，車の推進において力を及ぼしあう「系」に対してであることを見逃してはならない。つまり，上の議論には地球が抜けている。以下，自転・公転といったもともとの地球の運動は無視し，初め車も地球も静止しているとする。また，車の質量 $m$ ，地球の質量 $M$ とする。

たとえば， ${\rm S}$ 系において車が速度 $v$ から $2v$ に加速すると，運動量保存により地球は後方へ速度 $u=m/M\cdot v$ から $2u$ に加速することになる。このとき，

$\frac{{\it\Delta}E_2}{{\it\Delta}E_1} = \frac{\displaystyle\frac{5}{2}mv^2+\frac{5}{2}Mu^2}{\displaystyle\frac{3}{2}mv^2+\frac{3}{2}Mu^2} = \frac{5}{3}$

一方， ${\rm S}^\prime$ 系から見ると，

$\frac{{\it\Delta}{E_2}^\prime}{{\it\Delta}{E_1}^\prime} = \frac{\displaystyle\frac{3}{2}mv^2 + \frac{1}{2}M\{(v+3u)^2-(v+2u)^2\}}{\displaystyle \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}M\{(v+2u)^2-(v+u)^2\}} = \frac{\displaystyle\frac{5}{2}mv^2-\frac{5}{2}Mu^2}{\displaystyle\frac{3}{2}mv^2-\frac{3}{2}Mu^2} = \frac{5}{3}$