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【解答】ばねで連結された２物体 - (2010/02/14 (日) 11:13:27) のソース

****【解答】ばねで連結された２物体
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【問題】$$\rightarrow$$　[[ばねで連結された２物体]]

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=356&file=Toko09-1.bmp)


(1)

Aが壁を離れるのはばねが自然長のときだから，求める速さ$$v$$としてエネルギー保存により，

$$\frac{1}{2}kl^2 = \frac{1}{2}mv^2 \quad \therefore v = l\sqrt\frac{k}{m}$$

(2)

右向きを正にとり，A，Bの座標を$$x_1\;,\;x_2$$，加速度を$$a_1\;,\;a_2$$とおくと，運動方程式は，

$$ma_1 = k(x_2-x_1-L)$$

$$ma_2 = -k(x_2-x_1-L)$$

辺々引いて，

$$m(a_2-a_1) = -2k(x_2-x_1-L)$$

これは，相対変位の運動方程式である。したがって周期は，

$$T = 2\pi\sqrt\frac{m}{2k}$$

(3)

運動量保存により，両者の重心は速さ $$v/2$$ の等速度運動をする。ばねが最も縮んだときにA,Bともに重心に対して相対速度0になるから，ばねの最大縮みを $$l_{\rm max}$$ とおくとエネルギー保存により，

$$\frac{1}{2}kl^2 = 2\times\frac{1}{2}m\left(\frac{v}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}{kl_{\rm max}}^2 \quad \therefore l_{\rm max} = \frac{l}{\sqrt 2}$$

となる。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=356&file=Toko09-2.bmp)
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