【解答】ばねで連結された２物体

(1)

Aが壁を離れるのはばねが自然長のときだから，求める速さ $v$ としてエネルギー保存により，

$\frac{1}{2}kl^2 = \frac{1}{2}mv^2 \quad \therefore v = l\sqrt\frac{k}{m}$

(2)

右向きを正にとり，A，Bの座標を $x_1\;,\;x_2$ ，加速度を $a_1\;,\;a_2$ とおくと，運動方程式は，

$ma_1 = k(x_2-x_1-L)$

$ma_2 = -k(x_2-x_1-L)$

辺々引いて，

$m(a_2-a_1) = -2k(x_2-x_1-L)$

これは，相対変位の運動方程式である。したがって周期は，

$T = 2\pi\sqrt\frac{m}{2k}$

(3)

運動量保存により，両者の重心は速さ $v/2$ の等速度運動をする。ばねが最も縮んだときにA,Bともに重心に対して相対速度0になるから，ばねの最大縮みを $l_{\rm max}$ とおくとエネルギー保存により，

$\frac{1}{2}kl^2 = 2\times\frac{1}{2}m\left(\frac{v}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}{kl_{\rm max}}^2 \quad \therefore l_{\rm max} = \frac{l}{\sqrt 2}$

となる。

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最終更新：2010年02月14日 11:13

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