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雪上スピード競技と体重 - (2010/02/23 (火) 16:11:19) のソース

****雪上スピード競技と体重
まさに今，話題に事欠かない冬季オリンピック。雪上でのスピード競技と体重との関係について。基本的には「次元」の問題？
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同僚夫婦の会話（また聞きから推定）
妻「リュージュとかの競技は，体重が重いのと軽いのとでどっちが有利なの？」
夫「うーん，どうかなあ。ちょっとまてよ。体重が重くても軽くても摩擦の効果はあまりちがわないから，空気抵抗を比べると・・・」

物理にくわしい「夫」氏は，簡単な理論式を頭に思い浮かべて，空気抵抗を考慮したときの落下運動の終端速度$$v_t$$が，物体の質量$$m$$とともに増加することをするどく見抜いた。

速さ二乗に比例する（雪上のスピード競技の速さの下では二乗に比例が妥当であろう）空気抵抗の下で落下する物体の運動方程式は，

$$ma = mg - kv^2$$

$$v=v_t$$において，$$a=0$$より

$$v_t = \sqrt\frac{mg}{k}$$

というわけだ。もちろん，競技は鉛直落下でないからその分割引になる。

ただし，空気抵抗の係数$$k$$も体重によって変わると考えるべきだろう。したがって，この問題は本質的には「次元」の問題ということになりそうだ。すなわち，質量（体重）は体積に比例するから，代表的な長さ（たとえば身長）$$L$$の３乗にほぼ比例する。一方，空気抵抗は風を受ける面積にほぼ比例するとすれば，$$L$$の２乗に比例するだろう。つまり，重力は$$L^3$$，空気抵抗は$$L^2$$に比例するから，体重が重い方が加速の効果がプラスになるというわけだ。

$$v_t = \sqrt\frac{mg}{k}\propto \sqrt\frac{L^3}{L^2} = \sqrt L$$

終端速度も重い方が大きくなり，代表的な長さ（身長）の平方根すなわち体重の1/6乗にほぼ比例するであろう。

$$1+\frac{{\it\Delta}v}{v_t} \propto \left(1+\frac{{\it\Delta}m}{m}\right)^{1/6} \simeq 1 + \frac{1}{6}\frac{{\it\Delta}m}{m}$$

50kgの体重が1kg増えると，1/300だけ終端速度が速くなる。リュージュで終端速度に達しているか知らないが，同程度の差が出ると考えていいだろう。45秒のコースタイムで0.15秒の差。リュージュは 1/1000秒を争う競技だから，とても無視できない差である。

リュージュでは，ウェイトを載せてもよいが，全体重量に制限があり，日本選手が重量オーバーで失格になったのは，記憶に新しいところである。

[[体重減ったため…安田　重量超過で失格（スポニチ）>http://www.sponichi.co.jp/sports/news/2010/02/17/27.html]]
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