雪上スピード競技と体重

まさに今，話題に事欠かない冬季オリンピック。雪上でのスピード競技と体重との関係について。基本的には「次元」の問題？

同僚夫婦の会話（また聞きから推定）
妻「リュージュとかの競技は，体重が重いのと軽いのとでどっちが有利なの？」
夫「うーん，どうかなあ。ちょっとまてよ。体重が重くても軽くても摩擦の効果はあまりちがわないから，空気抵抗を比べると・・・」

物理にくわしい「夫」氏は，簡単な理論式を頭に思い浮かべて，空気抵抗を考慮したときの落下運動の終端速度 $v_t$ が，物体の質量 $m$ とともに増加することをするどく見抜いた。

速さ二乗に比例する（雪上のスピード競技の速さの下では二乗に比例が妥当であろう）空気抵抗の下で落下する物体の運動方程式は，

$ma = mg - kv^2$

$v=v_t$ において， $a=0$ より

$v_t = \sqrt\frac{mg}{k}$

というわけだ。もちろん，競技は鉛直落下でないからその分割引になる。

ただし，空気抵抗の係数 $k$ も体重によって変わると考えるべきだろう。したがって，この問題は本質的には「次元」の問題ということになりそうだ。すなわち，質量（体重）は体積に比例するから，代表的な長さ（たとえば身長） $L$ の３乗にほぼ比例する。一方，空気抵抗は風を受ける面積にほぼ比例するとすれば， $L$ の２乗に比例するだろう。つまり，重力は $L^3$ ，空気抵抗は $L^2$ に比例するから，体重が重い方が加速の効果がプラスになるというわけだ。