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****【解答】ばねで連結された振子群の振動
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【問題】 $$\rightarrow$$ [[ばねで連結された振子群の振動]]
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#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=372&file=Stand21.bmp)
(1)
[[ばねで連結された質点群の横振動]]と同様にして，さらに重力の効果を考慮すれば，運動方程式
$$M\ddot{x}_n = K(x_{n+1}+x_{n-1}-2x_n) - Mg\frac{x_n}{l}$$
を得る。
(2)
運動方程式において，$$x_n=A_n\cos(\omega t+\phi)$$ etc.とおくと，
$$-M\omega^2A_n = K(A_{n+1}+A_{n-1}-2A_n) + \frac{Mg}{l}A_n$$
を得る。
(3)
$$A_n = A\sin kna + B\cos kna$$ を用いると
$$A_{n+1}+A_{n-1} = 2A\sin kna \cos ka + 2B\cos kna \cos ka= 2A_n\cos ka$$
となるから，これを(2)の結果に適用して，
$$-M\omega^2A_n = -2KA_n(1-\cos ka) -\frac{Mg}{l}A_n$$
任意の$$A_n$$について成立するためには，
$$\omega^2 = \frac{4K}{M}\sin^2\frac{ka}{2} + \frac{g}{l}$$
となる。すなわち，分散関係として
$$\omega(k) = \sqrt{\frac{4K}{M}\sin^2\frac{ka}{2} + \frac{g}{l}}$$
を得る。下図は，Polymathによる$$\omega(k)$$のグラフである。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=372&file=Stand23.bmp)
なお，この系には$$k=0$$すなわち，$$\omega = g/l$$のモードが存在する。
基本振動においては
$$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{L}$$
だから，振動周期は
$$T = \frac{2\pi}{\omega} \quad,\quad \omega = \sqrt{\frac{4K}{M}\sin^2\frac{\pi a}{2L} + \frac{g}{l}}$$
となる（Algodooの設定で2.2sec.）。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=372&file=Stand22.bmp)
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