【解答】ばねで連結された振子群の振動

(1)

ばねで連結された質点群の横振動と同様にして，さらに重力の効果を考慮すれば，運動方程式

$M\ddot{x}_n = K(x_{n+1}+x_{n-1}-2x_n) - Mg\frac{x_n}{l}$

を得る。

(2)

運動方程式において， $x_n=A_n\cos(\omega t+\phi)$ 　etc.とおくと，

$-M\omega^2A_n = K(A_{n+1}+A_{n-1}-2A_n) + \frac{Mg}{l}A_n$

を得る。

(3)

$A_n = A\sin kna + B\cos kna$ を用いると

$A_{n+1}+A_{n-1} = 2A\sin kna \cos ka + 2B\cos kna \cos ka= 2A_n\cos ka$

となるから，これを(2)の結果に適用して，

$-M\omega^2A_n = -2KA_n(1-\cos ka) -\frac{Mg}{l}A_n$

任意の $A_n$ について成立するためには，

$\omega^2 = \frac{4K}{M}\sin^2\frac{ka}{2} + \frac{g}{l}$

となる。すなわち，分散関係として

$\omega(k) = \sqrt{\frac{4K}{M}\sin^2\frac{ka}{2} + \frac{g}{l}}$

を得る。下図は，Polymathによる $\omega(k)$ のグラフである。

なお，この系には $k=0$ すなわち， $\omega = g/l$ のモードが存在する。
基本振動においては

$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{L}$

だから，振動周期は

$T = \frac{2\pi}{\omega} \quad,\quad \omega = \sqrt{\frac{4K}{M}\sin^2\frac{\pi a}{2L} + \frac{g}{l}}$

となる（Algodooの設定で2.2sec.）。

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最終更新：2010年03月19日 13:39

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