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【解答】回転の慣性 - (2010/04/02 (金) 09:59:57) のソース

****【解答】回転の慣性
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【問題】　$$\rightarrow$$　[[回転の慣性]]
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#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=377&file=Inertia.bmp)


(1)

ラグランジアンを書き下ろすのが，簡明である。円筒の振動中心からの変位を$$x$$として，

$$L = \frac{1}{2}M\dot{X}^2 + \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}I\dot{\theta}^2 - \frac{1}{2}kX^2$$

ただし，

$$I = \frac{1}{2}mr^2$$

は，円筒の慣性モーメント。また，

$$x = X - r\theta$$

である。微分して運動方程式をつくると，

$$\ddot{X} - \frac{m}{M+m}r\ddot{\theta} = -\frac{k}{M+m}X$$

$$\ddot{X} - \frac{3}{2}r\ddot{\theta} = 0$$

を得る。

(2)

(1)の両式から$$\ddot{\theta}$$を消去すれば，

$$\ddot{X} = -\frac{3k}{3M+m}X$$

となり，振動の周期

$$T = 2\pi\sqrt\frac{3M+m}{3k}$$

を得る。

(3)

(1)の第２式を積分すれば，振幅

$$\theta_0 = \frac{2A}{3r}$$

を得る。ちなみに，$$x$$の振幅は

$$x_0 = A - r\theta_0 = \frac{1}{3}A$$

であり，台に対する円筒の振幅は$$2A/3$$となる。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=378&file=Inertia2.bmp)
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