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****運動座標系のシステマティックな導出(3)
回転の角速度ベクトル$$\boldsymbol\omega$$を用いた，速度・加速度の導出。
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[[運動座標系による運動方程式（１）]]で論じたように，運動座標系におけるベクトル$$\boldsymbol{A}$$の時間微分は，
$$\frac{d\boldsymbol{A}}{dt} = \frac{D\boldsymbol{A}}{dt} + \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{A}$$
と書ける。ここで，
$$\frac{D}{dt}\boldsymbol{A} = \dot{A_1}\boldsymbol{e}_1 + \dot{A_2}\boldsymbol{e}_2 + \dot{A_3}\boldsymbol{e}_3$$
は，$$(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3)$$を基底とする運動座標系における成分値のみの時間変化率を表し，また
$$\boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{A} = A_1\dot{\boldsymbol{e}_1} + A_2\dot{\boldsymbol{e}_2} + A_3\dot{\boldsymbol{e}_3}$$
は基底自体の回転による「補正」を意味する。
さて，これを[[運動座標系のシステマティックな導出(2)]]の3次元極座標系の場合に適用してみよう。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=382&file=polar4.bmp)
3次元極座標系の微小回転角を$$d\boldsymbol{\Theta}$$とすると，
$$d\boldsymbol{\Theta} = d\theta\boldsymbol{e}_\phi + d\phi\boldsymbol{e}_z$$
$$ = d\theta\boldsymbol{e}_\phi + d\phi(\cos\theta\boldsymbol{e}_r - \sin\theta\boldsymbol{e}_\theta)$$
$$ = d\phi\cos\theta\boldsymbol{e}_r - d\phi\sin\theta\boldsymbol{e}_\theta + d\theta\boldsymbol{e}_\phi$$
となる。したがって，運動による座標系の回転の角速度ベクトルは，
$$\boldsymbol{\omega} = \dot\phi\cos\theta\boldsymbol{e}_r - \dot\phi\sin\theta\boldsymbol{e}_\theta + \dot\theta\boldsymbol{e}_\phi$$
と書ける。すると，速度は
$$\dot{\boldsymbol{r}} = \dot{r}\boldsymbol{e}_r + \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}$$
$$ = \dot{r}\boldsymbol{e}_r + (\dot\phi\cos\theta\boldsymbol{e}_r - \dot\phi\sin\theta\boldsymbol{e}_\theta + \dot\theta\boldsymbol{e}_\phi)\times(r\boldsymbol{e}_r)$$
$$ = \dot{r}\boldsymbol{e}_r - r\dot\phi\sin\theta(\boldsymbol{e}_\theta\times\boldsymbol{e}_r) + r\dot\theta(\boldsymbol{e}_\phi\times\boldsymbol{e}_r)$$
$$ = \dot{r}\boldsymbol{e}_r +r\dot\theta\boldsymbol{e}_\theta + r\dot\phi\sin\theta\boldsymbol{e}_\phi$$
また，加速度も
$$\ddot{\boldsymbol{r}} = \frac{D\dot{\boldsymbol{r}}}{dt} + \boldsymbol{\omega}\times \dot{\boldsymbol{r}}$$
によって，目的の結果を得る。
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さて，基底の時間微分
$$\left(\begin{matrix}\dot{\boldsymbol{e}}_r\\ \dot{\boldsymbol{e}}_\theta\\ \dot{\boldsymbol{e}}_\phi\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}\qquad 0 \qquad\quad \dot\theta \qquad\quad \dot\phi\sin\theta\\ \quad -\dot\theta \qquad\quad 0 \qquad\quad \dot\phi\cos\theta\\-\dot\phi\sin\theta \,\, -\dot\phi\cos\theta \qquad 0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\boldsymbol{e}_r\\\boldsymbol{e}_\theta\\\boldsymbol{e}_\phi\end{matrix}\right)$$
が，$$\boldsymbol{\omega}$$と深い関係があることは，容易に推察できる。実は，上の反対称行列をベクトルにかけると，$$\boldsymbol{\omega}$$とのベクトル積（の符号を変えたもの）に等しくなる。
$$\left(\begin{matrix}\qquad 0 \qquad\quad \dot\theta \qquad\quad \dot\phi\sin\theta\\ \quad -\dot\theta \qquad\quad 0 \qquad\quad \dot\phi\cos\theta\\-\dot\phi\sin\theta \,\, -\dot\phi\cos\theta \qquad 0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A_r\\A_\theta\\A_\phi\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}\dot\theta A_\theta+\dot\phi\sin\theta A_\phi\\ -\dot\theta A_r + \dot\phi\cos\theta A_\phi\\ -\dot\phi\sin\theta A_r - \dot\phi\cos\theta A_\theta\end{matrix}\right)$$
$$ = -(\dot\phi\cos\theta\boldsymbol{e}_r - \dot\phi\sin\theta\boldsymbol{e}_\theta + \dot\theta\boldsymbol{e}_\phi)\times(A_r\boldsymbol{e}_r+A_\theta\boldsymbol{e}_\theta+A_\phi\boldsymbol{e}_\phi) = -\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{A}$$
これは，この反対称行列が$$\boldsymbol{\omega}$$のいわゆる「双対テンソル」（軸性ベクトルの反対称テンソル表現）になっていることを示しているのである。
対称性が見えやすいように，$$(r,\theta,\phi)$$に対して1,2,3の添え字を当てれば，
$$\boldsymbol{\omega} = \omega_{23}\boldsymbol{e}_1 + \omega_{31}\boldsymbol{e}_2 + \omega_{12}\boldsymbol{e}_3$$
のとき，
$$\left(\begin{matrix}\dot{\boldsymbol{e}}_1\\ \dot{\boldsymbol{e}}_2\\ \dot{\boldsymbol{e}}_3\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}\quad0\qquad \omega_{12}\quad-\omega_{31}\\-\omega_{12}\qquad 0 \qquad \omega_{23}\\ \omega_{31}\quad -\omega_{23}\qquad 0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\boldsymbol{e}_1\\\boldsymbol{e}_2\\\boldsymbol{e}_3\end{matrix}\right)$$
となる。これで$$\boldsymbol{\omega}$$を求めれば，基底の時間微分は自動的に導出できることがわかった。
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