運動座標系のシステマティックな導出(3)

回転の角速度ベクトル $\boldsymbol\omega$ を用いた，速度・加速度の導出。

運動座標系による運動方程式（１）で論じたように，運動座標系におけるベクトル $\boldsymbol{A}$ の時間微分は，

$\frac{d\boldsymbol{A}}{dt} = \frac{D\boldsymbol{A}}{dt} + \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{A}$

と書ける。ここで，

$\frac{D}{dt}\boldsymbol{A} = \dot{A_1}\boldsymbol{e}_1 + \dot{A_2}\boldsymbol{e}_2 + \dot{A_3}\boldsymbol{e}_3$

は， $(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3)$ を基底とする運動座標系における成分値のみの時間変化率を表し，また

$\boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{A} = A_1\dot{\boldsymbol{e}_1} + A_2\dot{\boldsymbol{e}_2} + A_3\dot{\boldsymbol{e}_3}$

は基底自体の回転による「補正」を意味する。

さて，これを運動座標系のシステマティックな導出(2)の3次元極座標系の場合に適用してみよう。

3次元極座標系の微小回転角を $d\boldsymbol{\Theta}$ とすると，

$d\boldsymbol{\Theta} = d\theta\boldsymbol{e}_\phi + d\phi\boldsymbol{e}_z$
　　　 $= d\theta\boldsymbol{e}_\phi + d\phi(\cos\theta\boldsymbol{e}_r - \sin\theta\boldsymbol{e}_\theta)$
　　　 $= d\phi\cos\theta\boldsymbol{e}_r - d\phi\sin\theta\boldsymbol{e}_\theta + d\theta\boldsymbol{e}_\phi$

となる。したがって，運動による座標系の回転の角速度ベクトルは，

$\boldsymbol{\omega} = \dot\phi\cos\theta\boldsymbol{e}_r - \dot\phi\sin\theta\boldsymbol{e}_\theta + \dot\theta\boldsymbol{e}_\phi$

と書ける。すると，速度は

$\dot{\boldsymbol{r}} = \dot{r}\boldsymbol{e}_r + \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}$
　　 $= \dot{r}\boldsymbol{e}_r + (\dot\phi\cos\theta\boldsymbol{e}_r - \dot\phi\sin\theta\boldsymbol{e}_\theta + \dot\theta\boldsymbol{e}_\phi)\times(r\boldsymbol{e}_r)$
　　 $= \dot{r}\boldsymbol{e}_r - r\dot\phi\sin\theta(\boldsymbol{e}_\theta\times\boldsymbol{e}_r) + r\dot\theta(\boldsymbol{e}_\phi\times\boldsymbol{e}_r)$
　　 $= \dot{r}\boldsymbol{e}_r +r\dot\theta\boldsymbol{e}_\theta + r\dot\phi\sin\theta\boldsymbol{e}_\phi$

また，加速度も

$\ddot{\boldsymbol{r}} = \frac{D\dot{\boldsymbol{r}}}{dt} + \boldsymbol{\omega}\times \dot{\boldsymbol{r}}$

によって，目的の結果を得る。

さて，基底の時間微分

$\left(\begin{matrix}\dot{\boldsymbol{e}}_r\\ \dot{\boldsymbol{e}}_\theta\\ \dot{\boldsymbol{e}}_\phi\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}\qquad 0 \qquad\quad \dot\theta \qquad\quad \dot\phi\sin\theta\\ \quad -\dot\theta \qquad\quad 0 \qquad\quad \dot\phi\cos\theta\\-\dot\phi\sin\theta \,\, -\dot\phi\cos\theta \qquad 0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\boldsymbol{e}_r\\\boldsymbol{e}_\theta\\\boldsymbol{e}_\phi\end{matrix}\right)$

が， $\boldsymbol{\omega}$ と深い関係があることは，容易に推察できる。実は，上の反対称行列をベクトルにかけると， $\boldsymbol{\omega}$ とのベクトル積（の符号を変えたもの）に等しくなる。

$\left(\begin{matrix}\qquad 0 \qquad\quad \dot\theta \qquad\quad \dot\phi\sin\theta\\ \quad -\dot\theta \qquad\quad 0 \qquad\quad \dot\phi\cos\theta\\-\dot\phi\sin\theta \,\, -\dot\phi\cos\theta \qquad 0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A_r\\A_\theta\\A_\phi\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}\dot\theta A_\theta+\dot\phi\sin\theta A_\phi\\ -\dot\theta A_r + \dot\phi\cos\theta A_\phi\\ -\dot\phi\sin\theta A_r - \dot\phi\cos\theta A_\theta\end{matrix}\right)$

　　　　　 $= -(\dot\phi\cos\theta\boldsymbol{e}_r - \dot\phi\sin\theta\boldsymbol{e}_\theta + \dot\theta\boldsymbol{e}_\phi)\times(A_r\boldsymbol{e}_r+A_\theta\boldsymbol{e}_\theta+A_\phi\boldsymbol{e}_\phi) = -\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{A}$

これは，この反対称行列が $\boldsymbol{\omega}$ のいわゆる「双対テンソル」（軸性ベクトルの反対称テンソル表現）になっていることを示しているのである。

対称性が見えやすいように， $(r,\theta,\phi)$ に対して1,2,3の添え字を当てれば，

$\boldsymbol{\omega} = \omega_{23}\boldsymbol{e}_1 + \omega_{31}\boldsymbol{e}_2 + \omega_{12}\boldsymbol{e}_3$

のとき，

$\left(\begin{matrix}\dot{\boldsymbol{e}}_1\\ \dot{\boldsymbol{e}}_2\\ \dot{\boldsymbol{e}}_3\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}\quad0\qquad \omega_{12}\quad-\omega_{31}\\-\omega_{12}\qquad 0 \qquad \omega_{23}\\ \omega_{31}\quad -\omega_{23}\qquad 0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\boldsymbol{e}_1\\\boldsymbol{e}_2\\\boldsymbol{e}_3\end{matrix}\right)$

となる。これで $\boldsymbol{\omega}$ を求めれば，基底の時間微分は自動的に導出できることがわかった。

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最終更新：2010年04月18日 21:50

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