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【解答】並進・回転の独立な振動 - (2010/04/30 (金) 19:16:57) のソース

****【解答】並進・回転の独立な振動
【問題】　$$\rightarrow$$　[[並進・回転の独立な振動]]
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#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=387&file=Indep.bmp)


ラグランジアンは，

$$L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}I\dot{\theta}^2 + mgx - \frac{1}{2}k(x_0+x+a\theta)^2-\frac{1}{2}k(x_0+x-a\theta)^2$$

ただし，

$$I = \frac{1}{3}ma^2$$

ラグランジアンを微分すると，

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m\dot{x} \qquad \frac{\partial L}{\partial x} = -2kx$$

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = I\dot{\theta} \qquad \frac{\partial L}{\partial \theta} = -2ka^2\theta$$

したがって，運動方程式

$$m\ddot{x} = -2kx$$

$$I\ddot{\theta} = -2ka^2 \theta\quad {\rm or}\quad m\ddot{\theta} = -6k\theta$$

を得る。並進・回転の振動は相互に影響することがなく独立になり，基本振動数は

$$\omega_x = \sqrt\frac{2k}{m} \qquad \omega_\theta = \sqrt\frac{6k}{m}$$

となる。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=388&file=Indep2.bmp)
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#Video(http://www.youtube.com/watch?v=rjsqbbkFyZc)