【解答】並進・回転の独立な振動

ラグランジアンは，

$L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}I\dot{\theta}^2 + mgx - \frac{1}{2}k(x_0+x+a\theta)^2-\frac{1}{2}k(x_0+x-a\theta)^2$

ただし，

$I = \frac{1}{3}ma^2$

ラグランジアンを微分すると，

$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m\dot{x} \qquad \frac{\partial L}{\partial x} = -2kx$

$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = I\dot{\theta} \qquad \frac{\partial L}{\partial \theta} = -2ka^2\theta$

したがって，運動方程式

$m\ddot{x} = -2kx$

$I\ddot{\theta} = -2ka^2 \theta\quad {\rm or}\quad m\ddot{\theta} = -6k\theta$

を得る。並進・回転の振動は相互に影響することがなく独立になり，基本振動数は

$\omega_x = \sqrt\frac{2k}{m} \qquad \omega_\theta = \sqrt\frac{6k}{m}$

となる。

タグ：

+ タグ編集

最終更新：2010年04月30日 19:16

添付ファイル

科学のおもちゃ箱 @wiki