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【解答】ホールインツー - (2010/06/11 (金) 15:55:15) のソース

****【解答】ホールインツー
【問題】$$\rightarrow$$　[[ホールインツー]]
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斜面に対して入射角$$\theta$$。このとき反射角$$\phi$$，衝突直後の速さ$$v_0$$とすると，

$$ev\cos\theta = v_0\cos\phi$$

$$v\sin\theta = v_0 \sin\phi$$

∴ $$\tan\phi = \tan\theta/e，\qquad v_0 = v\sqrt{e^2\cos^2\theta+\sin^2\theta}$$

衝突後の速度の仰角$$\alpha$$とすると，$$\alpha=\pi/2-\theta-\phi$$。

衝突から時間 $$t$$ 後に$$(1,0)$$に到達するとして，

$$x = v_0 \cos\alpha\cdot t - 1 = 1 \qquad \therefore  t = \frac{2}{v_0 \cos\alpha}$$

$$y = \tan\theta+v_0 \sin\alpha\cdot t -\frac{1}{2}gt^2 = \tan\theta+2\tan\alpha-\frac{2g}{{v_0}^2\cos^2\alpha} = 0$$

$$\alpha,v_0$$を代入して，$$\tau=\tan\theta$$とかくと，

$$\tau + \frac{2(e-\tau^2)}{\tau(e+1)} - \frac{(1+\tau^2)^2}{(h-\tau)(e+1)^2\tau^2 }= 0$$

これが，求める条件になる。$$h$$について解くと，

$$h = \tau+\frac{(1+\tau^2)^2}{\tau(e+1)(e\tau^2-\tau^2+2e)}$$

となる。

たとえば，$$\theta=\pi/6(\tau=1/\sqrt 3),e=0.7$$のとき，$$h=1.97$$である。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=399&file=Holes-in-two2.bmp)
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※質問者から補足をいただき，下記の制限条件がつくとのこと。

$$1-\frac{2}{\tau^2+2} < e$$

これについては，まだ検討できていない。
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