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【解答】バトンへの衝突とその回転 - (2022/03/22 (火) 00:45:22) のソース

****【解答】バトンへの衝突とその回転
【問題】　$$\rightarrow$$　[[バトンへの衝突とその回転]]
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#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=409&file=Arei.bmp)


衝突後のバトンの重心速さ$$V$$，はねかえった粒子の速さ$$v^\prime$$，求める角速度$$\omega$$とすると，

運動量保存により，

$$mv = 2mV - mv^\prime \quad \therefore v = 2V - v^\prime$$　…(i)

バトンの重心まわりの角運動量保存により，

$$mv\cdot \frac{L}{2\sqrt 2} = 2m\left(\frac{L}{2}\right)^2\omega - mv^\prime\cdot\frac{L}{2\sqrt 2}$$

$$\therefore v = \sqrt 2 L\omega - v^\prime$$　…(ii)

エネルギー保存により，

$$\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} 2mV^2 + \frac{1}{2} 2m\left(\frac{L}{2}\right)^2\omega^2+\frac{1}{2}m{v^\prime}^2$$

$$\therefore v^2 = 2V^2 + \frac{1}{2}L^2\omega^2+{v^\prime}^2$$　…(iii)

(i)(ii)より　$$V = \frac{L\omega}{\sqrt 2}$$

(iii)に代入して　$$v^2- {v^\prime}^2 = \frac{3}{2} L^2\omega^2$$

(ii)より $$v+v^\prime = \sqrt{2} L\omega$$

辺々割れば $$v - v^\prime = \frac{3}{2\sqrt{2}} L\omega$$

$$\therefore \omega = \frac{4\sqrt{2}}{7} \cdot \frac{v}{L}$$

となる。


#Video(http://www.youtube.com/watch?v=vwdG98_QGeI)
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