「【解答】連星系の崩壊」の編集履歴（バックアップ）一覧に戻る

【解答】連星系の崩壊 - (2010/09/01 (水) 22:06:31) のソース

****【解答】連星系の崩壊
【問題】$$\rightaroow$$ [[連星系の崩壊]]
----
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=425&file=Rensei.bmp)


途中の煩雑な計算過程は省略し，概略のみ示す。

まずは円運動。

２質点間の距離を$$r_0$$，質量を$$M,m$$とおく。
換算質量$$\mu = Mm/(M+m)$$として，円運動の方程式は，

$$\mu r_0\left(\frac{2\pi}{\tau}\right)^2 = \frac{GMm}{{r_0}^2}$$
（質点個別に立ててもこの式に帰着する）

$$\therefore \tau = \frac{2\pi{r_0}^{3/2}}{\sqrt{G(M+m)}}$$

次に後半の接近。

２質点間の距離を$$r(t),r(0)=r_0$$として，運動時間を求める。

エネルギー保存は

$$\frac{1}{2}\mu\dot{r}^2 - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{r_0}$$
（質点個別の運動エネルギーを計算してもこの式に帰着する）

整理すると，

$$\frac{dr}{dt} = -\sqrt{ 2G(M+m)\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r_0}\right) }$$

求める時間$$T$$は，

$$T = \frac{1}{\sqrt{2G(M+m)}}\times I,\qquad I = \int_0^{r_0}\frac{dr}{\sqrt{\frac{1}{r} - \frac{1}{r_0}}}$$

積分$$I$$を計算する。$$u=\sqrt{1/r - 1/r_0}$$　とおくと，

$$I = 2\int_0^\infty\frac{du}{(u^2 + 1/r_0)^2}$$

さらに，$$u = \tan\theta/\sqrt{r_0}$$　とおくと，

$$I = 2{r_0}^{3/2}\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta d\theta = \frac{\pi {r_0}^{3/2}}{2}$$

したがって，

$$T = \frac{\pi {r_0}^{3/2}}{ 2\sqrt{2G(M+m)} } = \frac{\tau}{4\sqrt 2}$$

を得る。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=426&file=Rensei2.bmp)
----