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【解答】連星系の崩壊

【問題】 $\rightaroow$ 連星系の崩壊

途中の煩雑な計算過程は省略し，概略のみ示す。

まずは円運動。

２質点間の距離を $r_0$ ，質量を $M,m$ とおく。
換算質量 $\mu = Mm/(M+m)$ として，円運動の方程式は，

$\mu r_0\left(\frac{2\pi}{\tau}\right)^2 = \frac{GMm}{{r_0}^2}$
（質点個別に立ててもこの式に帰着する）

$\therefore \tau = \frac{2\pi{r_0}^{3/2}}{\sqrt{G(M+m)}}$

次に後半の接近。

２質点間の距離を $r(t),r(0)=r_0$ として，運動時間を求める。

エネルギー保存は

$\frac{1}{2}\mu\dot{r}^2 - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{r_0}$
（質点個別の運動エネルギーを計算してもこの式に帰着する）

整理すると，

$\frac{dr}{dt} = -\sqrt{ 2G(M+m)\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r_0}\right) }$

求める時間 $T$ は，

$T = \frac{1}{\sqrt{2G(M+m)}}\times I,\qquad I = \int_0^{r_0}\frac{dr}{\sqrt{\frac{1}{r} - \frac{1}{r_0}}}$

積分 $I$ を計算する。 $u=\sqrt{1/r - 1/r_0}$ 　とおくと，

$I = 2\int_0^\infty\frac{du}{(u^2 + 1/r_0)^2}$

さらに， $u = \tan\theta/\sqrt{r_0}$ 　とおくと，

$I = 2{r_0}^{3/2}\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta d\theta = \frac{\pi {r_0}^{3/2}}{2}$

したがって，

$T = \frac{\pi {r_0}^{3/2}}{ 2\sqrt{2G(M+m)} } = \frac{\tau}{4\sqrt 2}$

を得る。

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最終更新：2010年09月01日 22:06

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