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曲率テンソルの展開 - (2010/12/03 (金) 11:29:27) のソース

****曲率テンソルの展開
一般相対論のリーマン微分幾何学に出てくる曲率テンソル（リーマンテンソル）をその縮約であるリッチテンソルおよびスカラー曲率（リッチスカラー）で展開する。
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曲率テンソル

$$R_{\alpha\beta\gamma\delta} = g_{\alpha\mu}{R^\mu}_{\beta\gamma\delta}$$

は，交換$$(\alpha,\beta)$$および$$(\gamma,\delta)$$に対して反対称，さらに同時交換$$(\alpha,\gamma)(\beta,\delta)$$に対して対称であるから，ある対称テンソル$$A_{\alpha\beta}$$を用いて，

$$R_{\alpha\beta\gamma\delta} = A_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - A_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma} + A_{\beta\delta}g_{\alpha\gamma} - A_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta}$$

と書ける。$$\alpha,\gamma$$について縮約して得られるリッチテンソルは，

$$R_{\beta\delta} = g^{\alpha\gamma}R_{\alpha\beta\gamma\delta} = Ag_{\beta\delta} + (n-2)A_{\beta\delta}$$

となる。ここに，$$A=g^{\alpha\beta}A_{\alpha\beta}$$で，$$n$$は空間の次元数である。さらに縮約して得られるスカラー曲率は，

$$R = g^{\beta\delta}R_{\beta\delta} = 2(n-1)A$$

となる。

１次元空間（$$n=1$$）では，$$R = 0$$で$$A$$は不定。もともと１次元では反対称性から曲率テンソルの成分はことごとく0となるから当然だ。$$n > 1$$のとき，

$$A = \frac{R}{2(n-1)}$$

したがって$$n > 2$$のとき，

$$A_{\beta\delta} = \frac{1}{n-2}\left\{R_{\beta\delta} - \frac{1}{2(n-1)}Rg_{\beta\delta}\right\}$$

を得る。これを代入すれば，曲率テンソルはリッチテンソルとスカラー曲率によって

$$R_{\alpha\beta\gamma\delta} = \frac{1}{n-2}(R_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - R_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma} + R_{\beta\delta}g_{\alpha\gamma} - R_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta}) - \frac{R}{(n-1)(n-2)}(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - g_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma})$$

と展開されることがわかる。ただし，4次元の場合はここにワイルテンソルと呼ばれる4階テンソルの項が付加される。

２次元（$$n=2$$）の場合については，次のような方法をみつけた。

曲率テンソル$$R_{\alpha\beta\gamma\delta}$$は$$\alpha,\beta$$に関して反対称だから，

$$R_{\alpha\beta\gamma\delta}=A_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta}-A_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta}$$

とおくことができる。縮約して，

$$R_{\beta\delta} = g^{\alpha\gamma}R_{\alpha\beta\gamma\delta} = Ag_{\beta\delta} - A_{\beta\delta}$$
$$R = g^{\beta\delta}R_{\beta\delta} = A$$

したがって，

$$A_{\beta\delta} = g_{\beta\delta}R - R_{\beta\delta}$$

初めの曲率テンソルに代入して，

$$R_{\alpha\beta\gamma\delta} = R(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - g_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta}) - R_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} + R_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta}$$

$$(\alpha,\gamma)$$と$$(\beta,\delta)$$を同時交換して，

$$R_{\gamma\delta\alpha\beta} = R(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - g_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta}) - R_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} + R_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma}$$

曲率テンソルは，この交換に対して対称だから，

$$R_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta} = R_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma}$$

さらに縮約して，

$$Rg_{\alpha\delta} = 2R_{\alpha\delta}$$
$$\therefore R_{\alpha\delta} = \frac{1}{2}g_{\alpha\delta}R$$

結局，

$$R_{\alpha\beta\gamma\delta} = \frac{R}{2}(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - g_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta})$$

を得る。２次元についてはさらに，[[かぎしっぽ掲示板>http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=res&no=27564&mode2=preview_pc]]からある方の次の考察を覚え書きとして引用させていただく。
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$$\varepsilon_{\alpha\beta}$$を2次元Levi-Civita記号とします。($$\varepsilon_{11}=0,\varepsilon_{12}=1,\varepsilon_{21}=-1,\varepsilon_{22}=0$$)
任意の反対称テンソル$$A_{\alpha\beta}$$が$$A_{\alpha\beta} =\varepsilon_{\alpha\beta}A_{12}$$と表せることより

$$R_{\alpha\beta\gamma\delta}=\varepsilon_{\alpha\beta}R_{12\gamma\delta}　=\varepsilon_{\alpha\beta}\varepsilon_{\gamma\delta}R_{1212}$$

と書けます。($$R_{\alpha\beta\gamma\delta} = R_{\gamma\delta\alpha\beta}$$は自動的に満たされています。)
ここで、同様に

$$g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta}-g_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta}　=\varepsilon_{\alpha\beta}\varepsilon_{\gamma\delta}(g_{11}g_{22}-g_{12}g_{12})\\ =\varepsilon_{\alpha\beta}\varepsilon_{\gamma\delta}|g|\quad(\because~g_{12}=g_{21})$$

ですから($$|g|$$は行列式)、「一意的」に

$$R_{\alpha\beta\gamma\delta}=\frac{1}{|g|}(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta}-g_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta})R_{1212}$$

と書けます。
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