曲率テンソルの展開

一般相対論のリーマン微分幾何学に出てくる曲率テンソル（リーマンテンソル）をその縮約であるリッチテンソルおよびスカラー曲率（リッチスカラー）で展開する。

曲率テンソル

$R_{\alpha\beta\gamma\delta} = g_{\alpha\mu}{R^\mu}_{\beta\gamma\delta}$

は，交換 $(\alpha,\beta)$ および $(\gamma,\delta)$ に対して反対称，さらに同時交換 $(\alpha,\gamma)(\beta,\delta)$ に対して対称であるから，ある対称テンソル $A_{\alpha\beta}$ を用いて，

$R_{\alpha\beta\gamma\delta} = A_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - A_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma} + A_{\beta\delta}g_{\alpha\gamma} - A_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta}$

と書ける。 $\alpha,\gamma$ について縮約して得られるリッチテンソルは，

$R_{\beta\delta} = g^{\alpha\gamma}R_{\alpha\beta\gamma\delta} = Ag_{\beta\delta} + (n-2)A_{\beta\delta}$

となる。ここに， $A=g^{\alpha\beta}A_{\alpha\beta}$ で， $n$ は空間の次元数である。さらに縮約して得られるスカラー曲率は，

$R = g^{\beta\delta}R_{\beta\delta} = 2(n-1)A$

となる。

１次元空間（ $n=1$ ）では， $R = 0$ で $A$ は不定。もともと１次元では反対称性から曲率テンソルの成分はことごとく0となるから当然だ。 $n &gt; 1$ のとき，

$A = \frac{R}{2(n-1)}$

したがって $n &gt; 2$ のとき，

$A_{\beta\delta} = \frac{1}{n-2}\left\{R_{\beta\delta} - \frac{1}{2(n-1)}Rg_{\beta\delta}\right\}$

を得る。これを代入すれば，曲率テンソルはリッチテンソルとスカラー曲率によって

$R_{\alpha\beta\gamma\delta} = \frac{1}{n-2}(R_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - R_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma} + R_{\beta\delta}g_{\alpha\gamma} - R_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta}) - \frac{R}{(n-1)(n-2)}(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - g_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma})$

と展開されることがわかる。ただし，4次元の場合はここにワイルテンソルと呼ばれる4階テンソルの項が付加される。

２次元（ $n=2$ ）の場合については，次のような方法をみつけた。

曲率テンソル $R_{\alpha\beta\gamma\delta}$ は $\alpha,\beta$ に関して反対称だから，

$R_{\alpha\beta\gamma\delta}=A_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta}-A_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta}$

とおくことができる。縮約して，

$R_{\beta\delta} = g^{\alpha\gamma}R_{\alpha\beta\gamma\delta} = Ag_{\beta\delta} - A_{\beta\delta}$
$R = g^{\beta\delta}R_{\beta\delta} = A$

したがって，

$A_{\beta\delta} = g_{\beta\delta}R - R_{\beta\delta}$

初めの曲率テンソルに代入して，

$R_{\alpha\beta\gamma\delta} = R(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - g_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta}) - R_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} + R_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta}$

$(\alpha,\gamma)$ と $(\beta,\delta)$ を同時交換して，

$R_{\gamma\delta\alpha\beta} = R(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - g_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta}) - R_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} + R_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma}$

曲率テンソルは，この交換に対して対称だから，

$R_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta} = R_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma}$

さらに縮約して，

$Rg_{\alpha\delta} = 2R_{\alpha\delta}$
$\therefore R_{\alpha\delta} = \frac{1}{2}g_{\alpha\delta}R$

結局，

$R_{\alpha\beta\gamma\delta} = \frac{R}{2}(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - g_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta})$

を得る。２次元についてはさらに，かぎしっぽ掲示板からある方の次の考察を覚え書きとして引用させていただく。

$\varepsilon_{\alpha\beta}$ を2次元Levi-Civita記号とします。( $\varepsilon_{11}=0,\varepsilon_{12}=1,\varepsilon_{21}=-1,\varepsilon_{22}=0$ )
任意の反対称テンソル $A_{\alpha\beta}$ が $A_{\alpha\beta} =\varepsilon_{\alpha\beta}A_{12}$ と表せることより

$R_{\alpha\beta\gamma\delta}=\varepsilon_{\alpha\beta}R_{12\gamma\delta}　=\varepsilon_{\alpha\beta}\varepsilon_{\gamma\delta}R_{1212}$

と書けます。( $R_{\alpha\beta\gamma\delta} = R_{\gamma\delta\alpha\beta}$ は自動的に満たされています。)
ここで、同様に

$g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta}-g_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta}　=\varepsilon_{\alpha\beta}\varepsilon_{\gamma\delta}(g_{11}g_{22}-g_{12}g_{12})\\ =\varepsilon_{\alpha\beta}\varepsilon_{\gamma\delta}|g|\quad(\because~g_{12}=g_{21})$

ですから( $|g|$ は行列式)、「一意的」に

$R_{\alpha\beta\gamma\delta}=\frac{1}{|g|}(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta}-g_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta})R_{1212}$

と書けます。

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最終更新：2010年12月03日 11:29

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