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３力のつりあい実験器 - (2010/10/06 (水) 11:22:20) のソース

****３力のつりあい実験器
「３力のつりあい実験器」が，「３力のつりあい」を確かめるものになっていることの証明。
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H氏が製作・改良した「３力のつりあい実験器」。アクリルの支柱の上にCDを固定し，中心から３方向に引いた糸におもりをぶらさげて，バランスをとる。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=430&file=PH_79.jpg)


先日の研究会で報告を聞いたとき，隣にいたY氏が
「これは，直接には力のつりあいの確認ではなく，力のモーメントのつりあいの確認になっている…と誰かがいっていた」
という「つぶやき」をもらしていた。彼は，私がそういったと記憶しているらしかったが，どうも覚えがない。しかし，この指摘はなるほどと思ったので，この実験器における力のモーメントのつりあいが，力のつりあいと等価であることを確認してみた。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=430&file=3-force.JPG)

$$x$$軸および$$y$$軸まわりの力のモーメントがつりあっていることは，ベクトルの性質から明らかである。３つのベクトルの$$x$$成分の和および$$y$$成分の和がゼロであるというつり合い条件が，そのまま$$y$$軸および$$x$$軸まわりの力のモーメントのつりあい条件となる。２軸まわりのモーメントがつりあっていれば，その交点である原点まわりの力のモーメントがつりあっていることになるだろう。

※円板の半径を$$r$$とすると，$$y$$軸および$$x$$軸まわりの力のモーメントは，

$$rF_1 - r\cos\beta F_2 - r\cos\alpha F_3 = - rF_{1x} - rF_{2x} - rF_{3x} = 0$$

$$- r\sin\beta F_2 + r\sin\alpha F_3 = rF_{1y} + rF_{2y} + rF_{3y} = 0$$

また，力$$F_1,F_2,F_3$$の中心まわりのトルク（力のモーメント）ベクトルを$$\tau_1,\tau_2,\tau_3$$とすれば，うでの長さが同じだからトルクの大きさは力に比例し，トルクベクトルは本来のつりあいを構成する力ベクトルをそれぞれ90°回転させたものになる。トルクベクトルの和がゼロならば，力ベクトルの和もゼロになることが明らかである。
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