「【解答】中心軸が連結された２円板」の編集履歴（バックアップ）一覧に戻る

【解答】中心軸が連結された２円板 - (2022/03/11 (金) 00:00:54) のソース

****【解答】中心軸が連結された２円板
【問題】$$\rightarrow$$ [[中心軸が連結された２円板]]
----
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=449&file=AngMoment.bmp)


#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=450&file=AngMoment2.bmp)


求める角速度を図のように$${\omega_1}^\prime,{\omega_2}^\prime,\Omega$$とする。
系の重心周りの角運動量保存により，

$$I_1\omega_1 + I_2\omega_2 = I_1{\omega_1}^\prime + I_2{\omega_2}^\prime + \mu(R+r)^2\Omega$$　…(1)

ただし，

$$I_1 = \frac{1}{2}MR^2,\qquad I_2 = \frac{1}{2}mr^2$$
$$\mu = \displaystyle\frac{Mm}{M+m}$$　（換算質量）

である。また，２円板の相互作用における作用反作用則により，

$$\frac{I_1({\omega_1}^\prime - \omega_1)}{R} = \frac{I_2({\omega_2}^\prime - \omega_2)}{r}$$　…(2)

さらに，転がりへの移行により

$$R({\omega_1}^\prime - \Omega) = -r({\omega_2}^\prime - \Omega)$$　…(3)

(1)(2)(3)を　$${\omega_1}^\prime,{\omega_2}^\prime,\Omega$$　の連立方程式として解く。(2)より，

$${\omega_2}^\prime - \omega_2 = \frac{MR}{mr}({\omega_1}^\prime - \omega_1)$$　…(4)

(1)を整理すると，

$$MR^2({\omega_1}^\prime - \omega_1) + mr^2({\omega_2}^\prime - \omega_2) + 2\mu(R+r)^2\Omega = 0$$

(4)を代入すれば，

$${\omega_1}^\prime = \omega_1 - \displaystyle\frac{2\mu(R+r)}{MR}\Omega,\qquad{\omega_2}^\prime = \omega_2 - \displaystyle\frac{2\mu(R+r)}{mr}\Omega$$

を得る。これを(3)に代入して，

$$\Omega = \displaystyle\frac{R\omega_1+r\omega_2}{3(R+r)}$$

上の式から，$${\omega_1}^\prime,{\omega_2}^\prime$$を得る。
$$\Omega$$ が両者の質量に無関係であることは興味深い結果である。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=450&file=AngMoment3.bmp)

理論値　$$\Omega=1/9=0.111{\rm rad/s}$$　にぴったり一致した。

【2022/03/10 訂正加筆】
----