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****【解答】中心軸が連結された2円板
【問題】$$\rightarrow$$ [[中心軸が連結された2円板]]
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#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=449&file=AngMoment.bmp)
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=450&file=AngMoment2.bmp)
求める角速度を図のように$${\omega_1}^\prime,{\omega_2}^\prime,\Omega$$とする。
系の重心周りの角運動量保存により,
$$I_1\omega_1 + I_2\omega_2 = I_1{\omega_1}^\prime + I_2{\omega_2}^\prime + \Big[M\Big{\frac{m(R+r)}{M+m}\Big}^2 + m\Big{\frac{M(R+r)}{M+m}\Big}^2\Big]\Omega$$ …(1)
ただし,
$$I_1 = \frac{1}{2}MR^2,\qquad I_2 = \frac{1}{2}mr^2$$
である。また,2円板の相互作用における作用反作用則により,
$$\frac{I_1({\omega_1}^\prime - \omega_1)}{R} = \frac{I_2({\omega_2}^\prime - \omega_2)}{r}$$ …(2)
さらに,転がりへの移行により
$$R({\omega_1}^\prime - \Omega) = -r({\omega_2}^\prime - \Omega)$$ …(3)
(1)(2)(3)を $${\omega_1}^\prime,{\omega_2}^\prime,\Omega$$ の連立方程式として解く。(2)より,
$${\omega_2}^\prime - \omega_2 = \frac{MR}{mr}({\omega_1}^\prime - \omega_1)$$ …(4)
(1)を整理すると,
$$MR^2({\omega_1}^\prime - \omega_1) + mr^2({\omega_2}^\prime - \omega_2) + 2(Mr^2+mR^2)\Omega = 0$$
(4)を代入すれば,
$${\omega_1}^\prime = \omega_1 - \frac{2(Mr^2+mR^2)}{MR(R+r)}\Omega,\qquad{\omega_2}^\prime = \omega_2 - \frac{2(Mr^2+mR^2)}{mr(R+r)}\Omega$$
を得る。これを(3)に代入して,
$$\Omega = \frac{Mm(R+r)(R\omega_1+r\omega_2)}{2(M+m)(Mr^2+mR^2)+Mm(R+r)^2}$$
上の式から,$${\omega_1}^\prime,{\omega_2}^\prime$$を得る。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=450&file=AngMoment3.bmp)
理論値 $$\Omega=1/9=0.111{\rm rad/s}$$ にぴったり一致した。
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****【解答】中心軸が連結された2円板
【問題】$$\rightarrow$$ [[中心軸が連結された2円板]]
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#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=449&file=AngMoment.bmp)
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=450&file=AngMoment2.bmp)
求める角速度を図のように$${\omega_1}^\prime,{\omega_2}^\prime,\Omega$$とする。
系の重心周りの角運動量保存により,
$$I_1\omega_1 + I_2\omega_2 = I_1{\omega_1}^\prime + I_2{\omega_2}^\prime + \mu(R+r)^2\Omega$$ …(1)
ただし,
$$I_1 = \frac{1}{2}MR^2,\qquad I_2 = \frac{1}{2}mr^2$$
$$\mu = \displaystyle\frac{Mm}{M+m}$$ (換算質量)
である。また,2円板の相互作用における作用反作用則により,
$$\frac{I_1({\omega_1}^\prime - \omega_1)}{R} = \frac{I_2({\omega_2}^\prime - \omega_2)}{r}$$ …(2)
さらに,転がりへの移行により
$$R({\omega_1}^\prime - \Omega) = -r({\omega_2}^\prime - \Omega)$$ …(3)
(1)(2)(3)を $${\omega_1}^\prime,{\omega_2}^\prime,\Omega$$ の連立方程式として解く。(2)より,
$${\omega_2}^\prime - \omega_2 = \frac{MR}{mr}({\omega_1}^\prime - \omega_1)$$ …(4)
(1)を整理すると,
$$MR^2({\omega_1}^\prime - \omega_1) + mr^2({\omega_2}^\prime - \omega_2) + 2\mu(R+r)^2\Omega = 0$$
(4)を代入すれば,
$${\omega_1}^\prime = \omega_1 - \displaystyle\frac{2\mu(R+r)}{MR}\Omega,\qquad{\omega_2}^\prime = \omega_2 - \displaystyle\frac{2\mu(R+r)}{mr}\Omega$$
を得る。これを(3)に代入して,
$$\Omega = \displaystyle\frac{R\omega_1+r\omega_2}{3(R+r)}$$
上の式から,$${\omega_1}^\prime,{\omega_2}^\prime$$を得る。
$$\Omega$$ が両者の質量に無関係であることは興味深い結果である。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=450&file=AngMoment3.bmp)
理論値 $$\Omega=1/9=0.111{\rm rad/s}$$ にぴったり一致した。
【2022/03/10 訂正加筆】
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