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【解答】くさりの落下と抗力 - (2011/01/22 (土) 16:30:26) のソース

****【解答】くさりの落下と抗力
【問題】$$\rightarrow$$ [[くさりの落下と抗力]]
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#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=480&file=FallingChain.bmp)


(1)

$$z = L - \frac{1}{2}gt^2$$

(2)

高さ0に質量$$(L-z)\lambda$$，高さ$$z/2$$に質量$$z\lambda$$があると考えて

$$Z_G = \frac{z\lambda\times z/2}{L\lambda} = \frac{z^2}{2L} = \frac{(L - gt^2/2)^2}{2L}$$

$$\therefore \frac{dZ_G}{dt} = -\frac{gt}{L}\left(L - \frac{1}{2}gt^2\right)$$

(3)

時刻$$t$$における運動量は，

$$P = L\lambda \frac{dZ_G}{dt}$$

$$\therefore \frac{dP}{dt} = \lambda g\left(\frac{3}{2}gt^2 - L\right)$$

したがって，重心の運動方程式は

$$\lambda g\left(\frac{3}{2}gt^2 - L\right) = N - L\lambda g$$

$$\therefore N = \frac{3}{2}\lambda g^2t^2$$

(1)の結果を代入して，

$$N = 3\lambda g(L - z)$$

を得る。

※机上の鎖の重さは$$\lambda g(L-z)$$であるから，余分は非弾性衝突によって生じる分である。微小時間$${\it \Delta}t$$に失われる運動量は，

$$-\lambda V{\it\Delta}t\times V = -\lambda g^2t^2{\it\Delta}t$$

すなわち，衝突による抗力の力積が$$\lambda g^2t^2{\it\Delta}t$$だから，抗力の増加分が$$\lambda g^2t^2$$。したがって，

$$N = \lambda g(L-z) + \lambda g^2t^2 = 3\lambda g(L-z)$$

となるのである。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=481&file=FallingChain3.bmp)
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=481&file=FallingChain21.bmp)
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