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コア形成による惑星の自転加速 - (2011/01/27 (木) 18:47:47) のソース

****コア形成による惑星の自転加速
コア（核）形成にともなって惑星の自転が加速する単純モデル。惑星自転の起因に関してひとつの示唆を与える良問。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1454444569]]より。
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【問題】
密度$$\rho_s$$のシリケイトと密度$$\rho_i$$の鉄が体積比7：1でまんべんなく混ざっている半径$$R$$の球状の惑星が、大きさ$$\omega_0$$の角速度で自転していたとする。ただし$$\rho_s < \rho_i$$である。 回転による球からの変形は無視できるとする。

(1)　中心を通る軸まわりの慣性モーメントを求めよ。
(2)　角運動量の大きさを求めよ。
(3)　回転運動のエネルギーを求めよ。
(4)　鉄のコアとシリケイトのマントルに分離したとするとき、中心を通る軸まわりの慣性モーメントはいくらに変わるか。ただし、シリケイトと鉄それぞれの密度は変わらないとする。
(5)　角速度はいくらに変わるか。
(6)　回転運動のエネルギーはいくらに変わるか。
(7)　コア形成前後の回転エネルギーの大小を比較し、エネルギー保存則と関連付けて議論せよ。 
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#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=486&file=jiten.bmp)


(1)

$$I_0 = \frac{2}{5}MR^2 = \frac{2}{5}\left(\frac{7}{8}\rho_s + \frac{1}{8}\rho_i\right)\cdot\frac{4}{3}\pi R^3\cdot R^2 = \frac{1}{15}(7\rho_s + \rho_i)\pi R^5$$

(2)

$$L_0 = I\omega_0 = \frac{1}{15}(7\rho_s + \rho_i)\pi R^5\omega_0$$

(3)

$$E_0 = \frac{1}{2}I_0{\omega_0}^2 = \frac{1}{30}(7\rho_s + \rho_i)\pi R^5{\omega_0}^2$$

(4)

$$I = \frac{2}{5}\cdot\rho_i\frac{4}{3}\pi\left(\frac{R}{2}\right)^3\cdot\left(\frac{R}{2}\right)^2 + \frac{2}{5}\cdot\rho_s\frac{4}{3}\pi R^3\cdot R^2 - \frac{2}{5}\cdot\rho_s \frac{4}{3}\pi\left(\frac{R}{2}\right)^3 \cdot\left(\frac{R}{2}\right)^2$$

　$$ = \frac{1}{60}(31\rho_s + \rho_i)\pi R^5$$

(5)

角運動量保存により

$$I_0\omega_0 = I\omega$$

$$\therefore \omega = \frac{I_0}{I}\omega_0 = \frac{4(7\rho_s + \rho_i)}{31\rho_s + \rho_i}\omega_0$$

(6)

$$E = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{{I_0}^2{\omega_0}^2}{2I} = \frac{2}{15}\cdot\frac{(7\rho_s + \rho_i)^2}{31\rho_s + \rho_i}\pi R^5{\omega_0}^2$$

(7)

$$E - E_0 = \left(\frac{2}{15}\cdot\frac{7\rho_s + \rho_i}{31\rho_s + \rho_i} - \frac{1}{30}\right)(7\rho_s + \rho_i)\pi R^5{\omega_0}^2 = \frac{(\rho_i - \rho_s)(7\rho_s + \rho_i)}{10(31\rho_s + \rho_i)}\pi R^5{\omega_0}^2 > 0$$

重力による位置エネルギーの減少分が回転エネルギーになった。
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