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速度に直交する力を受ける運動 - (2011/02/28 (月) 10:50:38) のソース

*****速度に直交する力を受ける運動
等速円運動する物体は，速度に直交する向心力を受ける。逆に速度に直交する力を受ける物体は等速円運動をするだろうか？[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1255943382]]より。
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【問題】

常に速度$$\boldsymbol{v}$$と直交する力$$\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}$$（ただし$$\boldsymbol{B}$$は定ベクトル）が働くなら質点は等速円運動することを証明せよ。

【解答】

簡単のため，$$\boldsymbol{B} = (0,0,B)$$とする。
質量$$m$$，速度$$\boldsymbol{v}=(v_x,v_y,v_z)$$とすると運動方程式は，

$$m\dot{v}_x = v_yB$$ …(i)

$$m\dot{v}_y = -v_xB$$ …(ii)

$$m\dot{v}_z = 0$$ …(iii)

(i)より，

$$v_y = \frac{m}{B}\dot{v}_x$$

(ii)に代入して，整理すると

$$\ddot{v}_x = -\frac{B^2}{m^2}v_x$$

一般解は，

$$v_x = a \sin(\omega t+\alpha)\quad,\quad\omega=\frac{B}{m}$$

初速度を$$\boldsymbol{v}_0=(v_0,0,0)$$とおくと，

$$a \sin\alpha = v_0$$

$$\dot{v}_x = a\omega \cos(\omega t+\alpha)$$

$$\dot{v}_x(0) = 0$$より，$$\alpha = \pi/2，a = v_0$$

すなわち，

$$v_x = v_0 \cos\omega t$$ …(iv)

同様にして，

$$\ddot{v}_y = -\frac{B^2}{m^2}v_y$$

一般解 

$$v_y = b \sin(\omega t+\beta)\quad，\quad\omega=\frac{B}{m}$$

$$v_y(0)=0$$より，$$\beta=0$$

$$\dot{v}_y = b\omega\cos\omega t$$

$$\dot{v_y}(0) = b\omega = -v_0B/m$$ より，$$b = -v_0$$

すなわち，

$$v_y = -v_0 \sin\omega t$$ …(v)

(iii)より，$$v_z=0$$ のままである。

(iv)(v)は$$x-y$$平面上の等速円運動を示している。
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