速度に直交する力を受ける運動 - 科学のおもちゃ箱 @wiki - atwiki（アットウィキ）

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速度に直交する力を受ける運動

等速円運動する物体は，速度に直交する向心力を受ける。逆に速度に直交する力を受ける物体は等速円運動をするだろうか？Yahoo!知恵袋より。

【問題】

常に速度 $\boldsymbol{v}$ と直交する力 $\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}$ （ただし $\boldsymbol{B}$ は定ベクトル）が働くなら質点は等速円運動することを証明せよ。

【解答】

簡単のため， $\boldsymbol{B} = (0,0,B)$ とする。
質量 $m$ ，速度 $\boldsymbol{v}=(v_x,v_y,v_z)$ とすると運動方程式は，

$m\dot{v}_x = v_yB$ …(i)

$m\dot{v}_y = -v_xB$ …(ii)

$m\dot{v}_z = 0$ …(iii)

(i)より，

$v_y = \frac{m}{B}\dot{v}_x$

(ii)に代入して，整理すると

$\ddot{v}_x = -\frac{B^2}{m^2}v_x$

一般解は，

$v_x = a \sin(\omega t+\alpha)\quad,\quad\omega=\frac{B}{m}$

初速度を $\boldsymbol{v}_0=(v_0,0,0)$ とおくと，

$a \sin\alpha = v_0$

$\dot{v}_x = a\omega \cos(\omega t+\alpha)$

$\dot{v}_x(0) = 0$ より， $\alpha = \pi/2，a = v_0$

すなわち，

$v_x = v_0 \cos\omega t$ …(iv)

同様にして，

$\ddot{v}_y = -\frac{B^2}{m^2}v_y$

一般解

$v_y = b \sin(\omega t+\beta)\quad，\quad\omega=\frac{B}{m}$

$v_y(0)=0$ より， $\beta=0$

$\dot{v}_y = b\omega\cos\omega t$

$\dot{v_y}(0) = b\omega = -v_0B/m$ より， $b = -v_0$

すなわち，

$v_y = -v_0 \sin\omega t$ …(v)

(iii)より， $v_z=0$ のままである。

(iv)(v)は $x-y$ 平面上の等速円運動を示している。

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最終更新：2011年02月28日 10:50