速度に直交する力を受ける運動
等速円運動する物体は,速度に直交する向心力を受ける。逆に速度に直交する力を受ける物体は等速円運動をするだろうか?Yahoo!知恵袋より。

【問題】

常に速度\boldsymbol{v}と直交する力\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}(ただし\boldsymbol{B}は定ベクトル)が働くなら質点は等速円運動することを証明せよ。

【解答】

簡単のため,\boldsymbol{B} = (0,0,B)とする。
質量m,速度\boldsymbol{v}=(v_x,v_y,v_z)とすると運動方程式は,

m\dot{v}_x = v_yB …(i)

m\dot{v}_y = -v_xB …(ii)

m\dot{v}_z = 0 …(iii)

(i)より,

v_y = \frac{m}{B}\dot{v}_x

(ii)に代入して,整理すると

\ddot{v}_x = -\frac{B^2}{m^2}v_x

一般解は,

v_x = a \sin(\omega t+\alpha)\quad,\quad\omega=\frac{B}{m}

初速度を\boldsymbol{v}_0=(v_0,0,0)とおくと,

a \sin\alpha = v_0

\dot{v}_x = a\omega \cos(\omega t+\alpha)

\dot{v}_x(0) = 0より,\alpha = \pi/2,a = v_0

すなわち,

v_x = v_0 \cos\omega t …(iv)

同様にして,

\ddot{v}_y = -\frac{B^2}{m^2}v_y

一般解

v_y = b \sin(\omega t+\beta)\quad,\quad\omega=\frac{B}{m}

v_y(0)=0より,\beta=0

\dot{v}_y = b\omega\cos\omega t

\dot{v_y}(0) = b\omega = -v_0B/m より,b = -v_0

すなわち,

v_y = -v_0 \sin\omega t …(v)

(iii)より,v_z=0 のままである。

(iv)(v)はx-y平面上の等速円運動を示している。

タグ:

+ タグ編集
  • タグ:
最終更新:2011年02月28日 10:50