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自然長でばねから離れる物体 - (2011/06/05 (日) 00:55:53) のソース

****自然長でばねから離れる物体
鉛直ばねについたトレーに載せた物体は，必ずばねの自然長位置でトレーを離れる。
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下端が床に固定され，上端に質量$$M$$の板がつけられたばねが鉛直に立っている。板の上に質量$$m$$の物体を載せた状態でばねを押し縮めて放したとき，物体は必ずばねの自然長位置で板を離れることになる。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=506&file=%E9%89%9B%E7%9B%B4%E6%8A%BC%E3%81%97%E3%81%B0%E3%81%AD.bmp)


自然長位置を原点に上向きに$$x$$軸をとる。物体および板が離れていないときの加速度を$$a$$，物体と板が押し合う抗力を$$N$$，ばね定数を$$k$$とおくと，物体と板の運動方程式は，

$$ma = N - mg$$

$$Ma = -kx - N - Mg$$

2式より，

$$N = -\frac{mk}{M+m}x$$

したがって，自然長位置$$x=0$$において抗力はゼロとなり，物体は板から離れることになる。

この事実を偶然だと思ってはいけない。鉛直ばねによって振動する物体の加速度は，自然長位置において$$-g$$となる。自然長位置では弾性力がゼロとなるから，物体（＋板）が受ける力は重力のみになるからである。その後物体は，重力のみによって加速度$$-g$$の鉛直投げ上げ運動に移り，板は下向きに重力に加えて復元力を受けるようになるから，下向き加速度の絶対値は，$$g$$より大きくなるので，物体と板は離れる方向に相対加速度を持つようになる。

以上のような事情から，運動方程式を立てるまでもなく，物体は必ず自然長位置で板から離れるのである。もちろん，自然長位置まで上がらないような小さな振幅での振動では，物体は板から離れることなく，一体となって振動を続けることになるのはいうまでもない。

天井からつりさげられた鉛直ばねにつけられたトレーに物体が載せられている場合も，全く同じである（[[ばねにつりさげられた板上の物体]]）。
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[[Algodooシーンのダウンロード>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=506&file=Enchoku-Bane-Hassha.phz]]
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