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【解答】二重連結棒の水平面回転 - (2011/08/22 (月) 10:00:07) のソース

****【解答】二重連結棒の水平面回転
【問題】→　[[二重連結棒の水平面回転]]
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#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=518&file=W-sticks.bmp)


(1)

OBの重心座標$$(x_1,y_1)$$，BCの重心座標$$(x_2,y_2)$$とおくと，

$$x_1 = a \cos\theta$$
$$y_1 = a \sin\theta$$
$$x_2 = 2a \cos\theta + a \cos\phi$$
$$y_2 = 2a \sin\theta + a \sin\phi$$

これらを時間微分して，

$$L = \frac{1}{2} M({\dot{x}_1}^2 + {\dot{y}_1}^2) + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12} M(2a)^2{\dot{\theta}}^2 + \frac{1}{2} M({\dot{x}_2}^2+{\dot{y}_2}^2) + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12}M(2a)^2{\dot{\phi}}^2$$
　$$= \frac{8}{3} Ma^2{\dot\theta}^2 + \frac{2}{3} Ma^2{\dot\phi}^2 + 2Ma^2\dot\theta\dot\phi\cos(\phi-\theta)$$

を得る。

(2)

$$L$$を微分して運動方程式を立てると，

$$8\ddot\theta + 3\ddot\phi \cos(\phi-\theta) + 3\dot\phi\frac{d}{dt} \cos(\phi-\theta) = 3\dot\theta\dot\phi \sin(\phi-\theta)$$
$$2\ddot\phi + 3\ddot\theta \cos(\phi-\theta) + 3\dot\theta \frac{d}{dt} \cos(\phi-\theta) = -3\dot\theta\dot\phi \sin(\phi-\theta)$$

を得る。

(3)

$$\psi=\phi-\theta={\rm const.}$$の定常回転では左辺はすべてゼロになるので，

$$\dot\theta\dot\phi \sin\psi = 0$$

を得るが，$$\dot\theta\dot\phi=0$$ という限定はないので，

$$\sin\psi=0$$

となる。もとの運動方程式にもどって$$\psi,\varepsilon$$に書き換えて，$$\psi,\varepsilon$$ およびこれらの時間微分に関して一次までの近似を実行すると，

$$11\ddot\varepsilon + 3\ddot\psi = 3\omega^2\psi$$
$$5\ddot\varepsilon + 2\ddot\psi = -3\omega^2\psi$$

両式より $$\ddot\varepsilon$$ を消去すると，

$$\ddot\psi = - \frac{48}{7}\omega^2\psi$$

角振動数は，

$$\Omega= 4\sqrt{\frac{3}{7}}\cdot\omega \simeq 2.6\, \omega$$

周期は

$$T = \frac{2\pi}{\Omega} = \frac{\tau}{2.6}$$

となる。ここで，$$\tau=2\pi/\omega$$ は回転周期である。

一回転の間に約2.6回振動することになる。
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最初，へえ…と不思議に思ったが，よくよく考えてみると，回転系における遠心力を「重力」とする振動に他ならない。ただし，連結された棒はいずれも自由回転であるから，「重力」は一定でない。一回転につき約2.6回の振動は，Algodooによるシミュレーションでも確認できた。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=519&file=W-sticks-rotation.bmp)
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