【解答】二重連結棒の水平面回転 - 科学のおもちゃ箱 @wiki - atwiki（アットウィキ）

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【解答】二重連結棒の水平面回転

【問題】→　二重連結棒の水平面回転

(1)

OBの重心座標 $(x_1,y_1)$ ，BCの重心座標 $(x_2,y_2)$ とおくと，

$x_1 = a \cos\theta$
$y_1 = a \sin\theta$
$x_2 = 2a \cos\theta + a \cos\phi$
$y_2 = 2a \sin\theta + a \sin\phi$

これらを時間微分して，

$L = \frac{1}{2} M({\dot{x}_1}^2 + {\dot{y}_1}^2) + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12} M(2a)^2{\dot{\theta}}^2 + \frac{1}{2} M({\dot{x}_2}^2+{\dot{y}_2}^2) + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12}M(2a)^2{\dot{\phi}}^2$
　 $= \frac{8}{3} Ma^2{\dot\theta}^2 + \frac{2}{3} Ma^2{\dot\phi}^2 + 2Ma^2\dot\theta\dot\phi\cos(\phi-\theta)$

を得る。

(2)

$L$ を微分して運動方程式を立てると，

$8\ddot\theta + 3\ddot\phi \cos(\phi-\theta) + 3\dot\phi\frac{d}{dt} \cos(\phi-\theta) = 3\dot\theta\dot\phi \sin(\phi-\theta)$
$2\ddot\phi + 3\ddot\theta \cos(\phi-\theta) + 3\dot\theta \frac{d}{dt} \cos(\phi-\theta) = -3\dot\theta\dot\phi \sin(\phi-\theta)$

を得る。

(3)

$\psi=\phi-\theta={\rm const.}$ の定常回転では左辺はすべてゼロになるので，

$\dot\theta\dot\phi \sin\psi = 0$

を得るが， $\dot\theta\dot\phi=0$ という限定はないので，

$\sin\psi=0$

となる。もとの運動方程式にもどって $\psi,\varepsilon$ に書き換えて， $\psi,\varepsilon$ およびこれらの時間微分に関して一次までの近似を実行すると，

$11\ddot\varepsilon + 3\ddot\psi = 3\omega^2\psi$
$5\ddot\varepsilon + 2\ddot\psi = -3\omega^2\psi$

両式より $\ddot\varepsilon$ を消去すると，

$\ddot\psi = - \frac{48}{7}\omega^2\psi$

角振動数は，

$\Omega= 4\sqrt{\frac{3}{7}}\cdot\omega \simeq 2.6\, \omega$

周期は

$T = \frac{2\pi}{\Omega} = \frac{\tau}{2.6}$

となる。ここで， $\tau=2\pi/\omega$ は回転周期である。

一回転の間に約2.6回振動することになる。

最初，へえ…と不思議に思ったが，よくよく考えてみると，回転系における遠心力を「重力」とする振動に他ならない。ただし，連結された棒はいずれも自由回転であるから，「重力」は一定でない。一回転につき約2.6回の振動は，Algodooによるシミュレーションでも確認できた。

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最終更新：2011年08月22日 10:00

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W-sticks-rotation.bmp