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振動の減衰と抵抗の係数 - (2012/01/11 (水) 14:03:29) のソース

****振動の減衰と抵抗の係数
[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1179148626]]よりひろった問題。減衰率によって抵抗の係数$$\gamma$$と減衰なし角振動数$$\omega$$との関係を得る。
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【問題】
抵抗がない場合に $$\omega$$ の固有角振動数をもつ単振動系を，速度に比例する抵抗$$-m\gamma \dot{x}$$（$$m$$は変位$$x$$に対応する慣性） を受ける条件で振動させたところ，100周期で振幅が0.7倍になった。$$\gamma$$を求めよ。
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【解答】

抵抗があるときの運動方程式は，

$$\ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega^2 x = 0$$

$$x = a e^{\lambda t}$$　とおくと，

$$\lambda^2 + \gamma \lambda + \omega^2 = 0$$

$$\therefore \lambda = \frac{1}{2}(-\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - 4\omega^2})$$

ここで$$\gamma \ll \omega$$であるから，根号の中は負になる。したがって，

$$x = a e^{-\gamma t/2}\cdot e^{\pm i \sqrt{\omega^2-\gamma^2/4}\cdot t}$$

を得る。一方，周期は

$$T = \frac{2\pi}{\sqrt{\omega^2-\gamma^2/4}} \simeq \frac{2\pi}{\omega}$$

したがって題意より

$$e^{-100\pi\gamma/\omega} = 0.7$$

$$\therefore \gamma = -\frac{\ln0.7}{100\pi}\cdot\omega$$

となる。

下図は$$\omega=1,T=2\pi$$としたときのシミュレーション結果である。100周期=628sec.で振幅が0.7倍に減少している。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=537&file=%E6%B8%9B%E8%A1%B0.bmp)
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