振動の減衰と抵抗の係数

Yahoo!知恵袋よりひろった問題。減衰率によって抵抗の係数 $\gamma$ と減衰なし角振動数 $\omega$ との関係を得る。

【問題】
抵抗がない場合に $\omega$ の固有角振動数をもつ単振動系を，速度に比例する抵抗 $-m\gamma \dot{x}$ （ $m$ は変位 $x$ に対応する慣性）を受ける条件で振動させたところ，100周期で振幅が0.7倍になった。 $\gamma$ を求めよ。

【解答】

抵抗があるときの運動方程式は，

$\ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega^2 x = 0$

$x = a e^{\lambda t}$ 　とおくと，

$\lambda^2 + \gamma \lambda + \omega^2 = 0$

$\therefore \lambda = \frac{1}{2}(-\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - 4\omega^2})$

ここで $\gamma \ll \omega$ であるから，根号の中は負になる。したがって，

$x = a e^{-\gamma t/2}\cdot e^{\pm i \sqrt{\omega^2-\gamma^2/4}\cdot t}$

を得る。一方，周期は

$T = \frac{2\pi}{\sqrt{\omega^2-\gamma^2/4}} \simeq \frac{2\pi}{\omega}$

したがって題意より

$e^{-100\pi\gamma/\omega} = 0.7$

$\therefore \gamma = -\frac{\ln0.7}{100\pi}\cdot\omega$

となる。

下図は $\omega=1,T=2\pi$ としたときのシミュレーション結果である。100周期=628sec.で振幅が0.7倍に減少している。

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最終更新：2012年01月11日 14:03

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