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****エネルギーによって軌道長半径が決まること
ケプラーの第１・２法則を前提として，「力学的エネルギーによって衛星の軌道長半径が一意に定まること」の一般的証明。
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ほとんど同じだが，２つの方法でやってみた。
【証明１】
力学的エネルギー
$$E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}$$
$$r=a$$の円軌道の場合
$$\frac{mv^2}{a} = \frac{GMm}{a^2}$$
を用いて
$$E = -\frac{GMm}{2a}$$
これに等しい力学的エネルギーをもつ軌道に対して
$$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2a}$$
第２法則から近地点・遠地点において
$$rv = h = {\rm const.}$$
以上から
$$r^2 - 2ar + \frac{ah^2}{GM} = 0$$
２つの解（近地点および遠地点距離）の和が$$2a$$であることから，長半径が$$a$$であることが示された。ぎりぎり高校物理レベルにおさまる点がいい。
【証明２】
軌道平面に極座標を適用して，エネルギー保存と角運動量保存を書くと，
$$\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2) - \frac{GMm}{r} = E$$
$$r^2\dot{\phi} = h$$
両式より$$\dot{\phi}$$を消去して，
$$\frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{mh^2}{2r^2} - \frac{GMm}{r} = E$$
運動が許される範囲は，
$$\frac{1}{2}m\dot{r}^2 = E - \frac{mh^2}{2r^2} + \frac{GMm}{r} \ge 0$$
すなわち，
$$r^2 + \frac{GMm}{E}r - \frac{mh^2}{2E} \ge 0$$
したがって，
$$r_{\rm min.} + r_{\rm max.} = -\frac{GMm}{E} = 2a$$
を得る。やはりこれが一番エレガントだろうか。
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