エネルギーによって軌道長半径が決まること

ケプラーの第１・２法則を前提として，「力学的エネルギーによって衛星の軌道長半径が一意に定まること」の一般的証明。

ほとんど同じだが，２つの方法でやってみた。

【証明１】

力学的エネルギー

$E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}$

$r=a$ の円軌道の場合

$\frac{mv^2}{a} = \frac{GMm}{a^2}$

を用いて

$E = -\frac{GMm}{2a}$

これに等しい力学的エネルギーをもつ軌道に対して

$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2a}$

第２法則から近地点・遠地点において

$rv = h = {\rm const.}$

以上から

$r^2 - 2ar + \frac{ah^2}{GM} = 0$

２つの解（近地点および遠地点距離）の和が $2a$ であることから，長半径が $a$ であることが示された。ぎりぎり高校物理レベルにおさまる点がいい。

【証明２】

軌道平面に極座標を適用して，エネルギー保存と角運動量保存を書くと，

$\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2) - \frac{GMm}{r} = E$

$r^2\dot{\phi} = h$

両式より $\dot{\phi}$ を消去して，

$\frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{mh^2}{2r^2} - \frac{GMm}{r} = E$

運動が許される範囲は，

$\frac{1}{2}m\dot{r}^2 = E - \frac{mh^2}{2r^2} + \frac{GMm}{r} \ge 0$

すなわち，

$r^2 + \frac{GMm}{E}r - \frac{mh^2}{2E} \ge 0$

したがって，

$r_{\rm min.} + r_{\rm max.} = -\frac{GMm}{E} = 2a$

を得る。やはりこれが一番エレガントだろうか。

最終更新：2012年11月27日 13:38

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