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双極子が非一様電場から受ける力 - (2012/12/10 (月) 12:44:02) のソース

****双極子が非一様電場から受ける力
[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1198447316]]より。電気双極子が，非一様な（場所に依存する）電場から受ける力を求める，ベクトル解析の問題。
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【問題】

非一様な(場所に依存する)電場$$\boldsymbol{E}$$の中で双極子モーメント$$\boldsymbol{p}$$ にはたらく力は，

$$\boldsymbol{F} = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E})$$

で表されることを示せ。ただし，ベクトル解析の公式

$$\boldsymbol{p}\times(\nabla\times\boldsymbol{E}) = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E}) - \boldsymbol{p}\cdot\nabla\boldsymbol{E}$$

を用いること。 
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【解答】

双極子モーメントを

$$\boldsymbol{p} = q \boldsymbol{d}$$

とすると，双極子の中心を原点にとって

$$+q$$ の位置は，$$\boldsymbol{d}/2$$
$$-q$$ の位置は，$$-\boldsymbol{d}/2$$

したがって，位置$$\boldsymbol{r}$$の電場を$$\boldsymbol{E}(\bolsymbol{r})$$と書くとき求める力は，

$$\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{E}(\boldsymbol{d}/2) - q\boldsymbol{E}(-\boldsymbol{d}/2)$$

ここで，$$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{d}/2)$$を原点まわりに展開して，１次の項だけ残せば

$$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{d}/2) = \boldsymbol{E}(\boldsymbol{0}) + \boldsymbol{d}/2\cdot\nabla\boldsymbol{E}$$
$$\boldsymbol{E}(-\boldsymbol{d}/2) = \boldsymbol{E}(\boldsymbol{0}) - \boldsymbol{d}/2\cdot\nabla\boldsymbol{E}$$


したがって，

$$\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{d}\cdot\nabla\boldsymbol{E} = \boldsymbol{p}\cdot\nabla\boldsymbol{E}$$

しかるに，

$$\boldsymbol{p}\times(\nabla\times\boldsymbol{E}) = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E}) - \boldsymbol{p}\cdot\nabla\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}$$

$$\therefore \boldsymbol{F} = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E})$$

を得る。
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$$\nabla\boldsymbol{E}$$ は微分演算子ベクトルと電場ベクトルの「直積」である。

$$\nabla\boldsymbol{E} = \left(\begin{array}{ccc}\partial_xE_x \quad \partial_xE_y \quad \partial_xE_z \\ \partial_yE_x \quad \partial_yE_y \quad \partial_yE_z \\\partial_zE_x \quad \partial_zE_y \quad \partial_zE_z \end{array}\right)$$
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