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【解答】球面を転がり落ちる小球 - (2012/12/13 (木) 10:09:39) のソース

****【解答】球面を転がり落ちる小球
【問題】→ [[球面を転がり落ちる小球]]
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大球の中心に対して小球の重心位置を鉛直軸からの中心角$$\theta$$で表す。
また，小球の回転角を$$\phi$$とする。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=593&file=Sph-on-sph.bmp)


エネルギー保存

$$\frac{1}{2} M(R+a)^2{\dot{\theta}}^2 + \frac{1}{2} I {\dot{\phi}}^2 = Mg(R+a)(1-\cos\theta)$$

ただし，

$$I = \frac{2}{5}Ma^2$$

束縛条件

$$\dot{\phi} = \frac{R+a}{a} \dot{\theta}$$

大球中心に対する小球重心の半径方向の運動方程式より

$$M(R+a){\dot{\theta}}^2 = Mg \cos\theta - N$$

垂直抗力$$N=0$$より

$${\dot{\theta}}^2 = \frac{g \cos\theta}{R+a}$$

上のエネルギー保存に代入して整理すると，

$$\cos\theta = \frac{10}{17}$$

を得る。
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小球の半径$$a$$に依存しない結果になったのは，ちょっと予想外だった。
画像はAlgodooによるシミュレーションで抗力$$N=0$$になったときの$$\theta$$を求めたものである。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=594&file=sphere-on-sphere.bmp)


参考：http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/216.html
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