【解答】球面を転がり落ちる小球

大球の中心に対して小球の重心位置を鉛直軸からの中心角 $\theta$ で表す。
また，小球の回転角を $\phi$ とする。

エネルギー保存

$\frac{1}{2} M(R+a)^2{\dot{\theta}}^2 + \frac{1}{2} I {\dot{\phi}}^2 = Mg(R+a)(1-\cos\theta)$

ただし，

$I = \frac{2}{5}Ma^2$

束縛条件

$\dot{\phi} = \frac{R+a}{a} \dot{\theta}$

大球中心に対する小球重心の半径方向の運動方程式より

$M(R+a){\dot{\theta}}^2 = Mg \cos\theta - N$

垂直抗力 $N=0$ より

${\dot{\theta}}^2 = \frac{g \cos\theta}{R+a}$

上のエネルギー保存に代入して整理すると，

$\cos\theta = \frac{10}{17}$

を得る。

小球の半径 $a$ に依存しない結果になったのは，ちょっと予想外だった。
画像はAlgodooによるシミュレーションで抗力 $N=0$ になったときの $\theta$ を求めたものである。

最終更新：2012年12月13日 10:09

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