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n次元超球の体積と表面積 - (2009/03/01 (日) 13:00:34) のソース

****n次元超球の体積と表面積
n次元超立方体について考察したことがあった。
>http://homepage2.nifty.com/ysc/space.pdf
「かぎしっぽ」で４次元超球の表面積について質問があった。
>http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=res&no=23043&mode2=preview_pc
これをきっかけに，調べてみた。
>http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic3/data/ball1.pdf
>http://my.reset.jp/~gok/math/pdf/spm/sphere.pdf
なるほどなるほど。…で，整理してみた。
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$$n$$次元超球とは，$$n$$次元ユークリッド空間において
$${x_1}^2+{x_2}^2+\hdots+{x_n}^2 \leq r^2$$
を満たす点の集合である。その$$n$$次元体積を
$$V_n(r)=\alpha_n r^n$$
とおく。$$r=1$$の場合の体積$$\alpha_n$$を求めよう。
$$x_n=t$$における切り口は，
$${x_1}^2+{x_2}^2+\hdots+{x_{n-1}}^2 \leq 1-t^2$$
で表される$$n-1$$次元球であるから，
$$\alpha_n=2\int_0^1 V_{n-1}(\sqrt{1-t^2})dt=2\alpha_{n-1}I_n \quad ,\quad I_n=\int_0^1 (1-t^2)^{(n-1)/2}dt$$
と書ける。$$t=\sin\theta$$と置換して，$$n\geq2$$ に対して部分積分により以下を得る。
$$I_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n\theta d\theta=(n-1)(I_{n-2}-I_n)$$
$$\therefore \quad I_n=\frac{n-1}{n} I_{n-2}$$
ここに，
$$I_0=\int_0^{\pi/2}d\theta=\frac{\pi}{2} \quad , \quad I_1=\int_0^{\pi/2}\cos\theta d\theta=1$$
であるから，順次
$$I_2=\frac{1}{2}I_0=\frac{\pi}{4} \quad , \quad I_3=\frac{2}{3}I_1=\frac{2}{3} \quad , \quad I_4=\frac{3}{4}I_2=\frac{3\pi}{16} \quad \hdots$$
と得られて，
$$\alpha_3=2\alpha_2I_3=2\cdot\pi\cdot\frac{2}{3}=\frac{4\pi}{3}$$
$$\alpha_4=2\alpha_3I_4=2\cdot\frac{4\pi}{3}\cdot\frac{3\pi}{16}=\frac{\pi^2}{2} \quad \hdots$$
となる。すなわち，4次元超球の体積は
$$V_4(r)=\alpha_4 r^4 = \frac{\pi^2}{2}r^4$$
また，その表面積は
$$S_4(r)=\frac{dV_4(r)}{dr}=2\pi^2r^3$$
となる。
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