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n次元超球の体積と表面積
n次元超立方体について考察したことがあった。
「かぎしっぽ」で４次元超球の表面積について質問があった。
これをきっかけに，調べてみた。
なるほどなるほど。…で，整理してみた。
n次元超球とは，n次元ユークリッド空間において
{x_1}^2+{x_2}^2+\hdots+{x_n}^2 \leq r^2
を満たす点の集合である。そのn次元体積を
V_n(r)=\alpha_n r^n
とおく。r=1の場合の体積\alpha_nを求めよう。
x_n=tにおける切り口は，
{x_1}^2+{x_2}^2+\hdots+{x_{n-1}}^2 \leq 1-t^2
で表されるn-1次元球であるから，
\alpha_n=2\int_0^1 V_{n-1}(\sqrt{1-t^2})dt=2\alpha_{n-1}I_n \quad ,\quad I_n=\int_0^1 (1-t^2)^{(n-1)/2}dt
と書ける。t=\sin\thetaと置換して，n\geq2 に対して部分積分により以下を得る。
I_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n\theta d\theta=(n-1)(I_{n-2}-I_n)
\therefore \quad I_n=\frac{n-1}{n} I_{n-2}
ここに，
I_0=\int_0^{\pi/2}d\theta=\frac{\pi}{2} \quad , \quad I_1=\int_0^{\pi/2}\cos\theta d\theta=1
であるから，順次
I_2=\frac{1}{2}I_0=\frac{\pi}{4} \quad , \quad I_3=\frac{2}{3}I_1=\frac{2}{3} \quad , \quad I_4=\frac{3}{4}I_2=\frac{3\pi}{16} \quad \hdots
と得られて，
\alpha_3=2\alpha_2I_3=2\cdot\pi\cdot\frac{2}{3}=\frac{4\pi}{3}
\alpha_4=2\alpha_3I_4=2\cdot\frac{4\pi}{3}\cdot\frac{3\pi}{16}=\frac{\pi^2}{2} \quad \hdots
となる。すなわち，4次元超球の体積は
V_4(r)=\alpha_4 r^4 = \frac{\pi^2}{2}r^4
また，その表面積は
S_4(r)=\frac{dV_4(r)}{dr}=2\pi^2r^3
となる。
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最終更新：2009年03月01日 13:00