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小球と木片の無限回衝突（e<1） - (2009/03/14 (土) 13:46:08) のソース

****小球と木片の無限回衝突（e<1）
[[小球と木片の無限回衝突]]において，はねかえり定数が$$e$$の一般の場合について考える。再度の衝突前に木片が停止する場合は簡単で，はねかえり定数$$e$$を考慮して先の考察に多少の手を加えるだけでよい。
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初めの衝突直後の小球と木片の速さを$$v_1,V_1$$とすると，はねかえり定数が$$e$$だから，
$$V_1=v_1+ev_0$$
運動量保存により
$$mv_0=mv_1+MV_1$$
両式から
$$v_1=\frac{m-eM}{m+M}v_0 \quad , \quad V_1=\frac{(1+e)m}{m+M}v_0$$
を得る。
さて，$$V_1$$の初速で動き始めた木片が摩擦力によって減速し，再度の衝突前に停止すると仮定して，停止までの時間を$$\tau$$とすると，
$$V_1-\mu g\tau=0 \quad \therefore \quad \tau=\frac{(1+e)mv_0}{\mu g(m+M)}$$
もし，木片が停止する前に小球が再度衝突するのであれば，再衝突までの時間を$$t$$とすると，
$$v_1t=V_1t-\frac{1}{2}\mu gt^2 \quad \therefore \quad t=\frac{2ev_0}{\mu g} $$
となる。したがって，$$t\gtreqless\tau$$の各場合にわけて検討しなければならない。すなわち，$$\alpha=m/M$$として

(1) $$e > \alpha/(2+\alpha)$$のとき，木片は衝突前に停止する。
(2) $$e < \alpha/(2+\alpha)$$のとき，木片が停止しないうちに次の衝突が起こる。

なお，繰り返し衝突が起こるために$$v_1 > 0$$すなわち$$\alpha > e$$でなければならないことはいうまでもない。
&ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=68&file=coll2.bmp)

(2)の解析はなかなか根気のいる仕事であり，ひとまず宿題としたい。
(1)は，先の[[小球と木片の無限回衝突]]と同様の考察に対して，はねかえり定数$$e$$を考慮すればよい。

はじめの衝突から再衝突までの時間を$$t_1$$とすると，
$$v_1t_1=V_1\tau-\frac{1}{2}\mu g\tau^2 \quad \therefore \quad t_1=\frac{(1+e)^2m^2v_0}{2\mu g(m+M)(m-eM)}$$
を得る。２回の衝突位置間の距離は，
$$l_1=v_1t_1=\frac{(1+e)^2m^2{v_0}^2}{2\mu g(m+M)^2}$$
となる。

以下[[小球と木片の無限回衝突]]と同様にして，
$$r=\frac{m-eM}{m+M}$$
とおけば，最初の衝突から両者がともに静止するまでの時間$$T$$と移動距離$$L$$は，
$$T=\sum_{n=1}^\infty t_n = \frac{t_1}{1-r} = \frac{(1+e)m^2v_0}{2\mu gM(m-eM)} = \frac{(1+e)m^2}{2\mu M(m-eM)}\sqrt{\frac{2h}{g}}$$
$$L=\sum_{n=1}^\infty l_n = \frac{l_1}{1-r^2} = \frac{(1+e)m^2{v_0}^2}{2\mu gM(2m-M-eM)}=\frac{(1+e)m^2h}{\mu M(2m+M-eM)}$$
となる。
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*****『Phun』によるシミュレーション
$$\alpha=m/M=2 , e=1/2$$　で，木片の停止と衝突がほぼ同時に起こる条件を選んでみた。
同時性をわかりやすくするために，木片の動摩擦係数を小さくし，さらにスローモーションにした。
上の条件は，『Phun』においておおよその設定しかできない上に誤差もあるから，衝突よりも木片の停止がやや早くなっている。
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=68&file=collision2.phn
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