小球と木片の無限回衝突（e<1）

小球と木片の無限回衝突において，はねかえり定数が $e$ の一般の場合について考える。再度の衝突前に木片が停止する場合は簡単で，はねかえり定数 $e$ を考慮して先の考察に多少の手を加えるだけでよい。

初めの衝突直後の小球と木片の速さを $v_1,V_1$ とすると，はねかえり定数が $e$ だから，
$V_1=v_1+ev_0$
運動量保存により
$mv_0=mv_1+MV_1$
両式から
$v_1=\frac{m-eM}{m+M}v_0 \quad , \quad V_1=\frac{(1+e)m}{m+M}v_0$
を得る。
さて， $V_1$ の初速で動き始めた木片が摩擦力によって減速し，再度の衝突前に停止すると仮定して，停止までの時間を $\tau$ とすると，
$V_1-\mu g\tau=0 \quad \therefore \quad \tau=\frac{(1+e)mv_0}{\mu g(m+M)}$
もし，木片が停止する前に小球が再度衝突するのであれば，再衝突までの時間を $t$ とすると，
$v_1t=V_1t-\frac{1}{2}\mu gt^2 \quad \therefore \quad t=\frac{2ev_0}{\mu g}$
となる。したがって， $t\gtreqless\tau$ の各場合にわけて検討しなければならない。すなわち， $\alpha=m/M$ として

(1) $e > \alpha/(2+\alpha)$ のとき，木片は衝突前に停止する。
(2) $e < \alpha/(2+\alpha)$ のとき，木片が停止しないうちに次の衝突が起こる。

なお，繰り返し衝突が起こるために $v_1 &gt; 0$ すなわち $\alpha > e$ でなければならないことはいうまでもない。

(2)の解析はなかなか根気のいる仕事であり，ひとまず宿題としたい。
(1)は，先の小球と木片の無限回衝突と同様の考察に対して，はねかえり定数 $e$ を考慮すればよい。

はじめの衝突から再衝突までの時間を $t_1$ とすると，
$v_1t_1=V_1\tau-\frac{1}{2}\mu g\tau^2 \quad \therefore \quad t_1=\frac{(1+e)^2m^2v_0}{2\mu g(m+M)(m-eM)}$
を得る。２回の衝突位置間の距離は，
$l_1=v_1t_1=\frac{(1+e)^2m^2{v_0}^2}{2\mu g(m+M)^2}$
となる。

以下小球と木片の無限回衝突と同様にして，
$r=\frac{m-eM}{m+M}$
とおけば，最初の衝突から両者がともに静止するまでの時間 $T$ と移動距離 $L$ は，
$T=\sum_{n=1}^\infty t_n = \frac{t_1}{1-r} = \frac{(1+e)m^2v_0}{2\mu gM(m-eM)} = \frac{(1+e)m^2}{2\mu M(m-eM)}\sqrt{\frac{2h}{g}}$
$L=\sum_{n=1}^\infty l_n = \frac{l_1}{1-r^2} = \frac{(1+e)m^2{v_0}^2}{2\mu gM(2m-M-eM)}=\frac{(1+e)m^2h}{\mu M(2m+M-eM)}$
となる。

『Phun』によるシミュレーション

$\alpha=m/M=2 , e=1/2$ 　で，木片の停止と衝突がほぼ同時に起こる条件を選んでみた。
同時性をわかりやすくするために，木片の動摩擦係数を小さくし，さらにスローモーションにした。
上の条件は，『Phun』においておおよその設定しかできない上に誤差もあるから，衝突よりも木片の停止がやや早くなっている。

http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=68&file=collision2.phn

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最終更新：2009年03月14日 13:46

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