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****小球と木片の無限回衝突（e<1，停止なし）
先の[[小球と木片の無限回衝突（e<1）]]では，木片が衝突の間に一旦停止する場合について考察した。最後に残った一旦停止なしの場合について，だいぶ難儀したが解けたように思う。
※相対速度0になって以降の運動を見逃していたので追加。その後計算違いをみつけてまたまた修正。ようやく『Phun』によるシミュレーションと整合する結果を得た。(2009.03.21)
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最初の衝突直後の小球と木片の速さを$$v_1,V_1$$とし，両者の質量比を$$m/M=\alpha$$とおくと，運動量保存およびはねかえり定数$$e$$から次の2式が成り立つ。
$$\alpha v_0=\alpha v_1+V_1$$
$$ev_0=V_1-v_1$$
辺々引いて，
$$(\alpha-e)v_0=(1+\alpha)v_1 \quad \therefore \quad v_1=\frac{\alpha-e}{1+\alpha}v_0 \quad , \quad V_1=\frac{\alpha(1+e)}{1+\alpha}v_0$$
を得る。
初めの衝突から再衝突までの時間および移動距離を$$t_1,l_1$$とすると，
$$v_1t_1=V_1t_1-\frac{1}{2}\mu g{t_1}^2 \quad \therefore \quad t_1=\frac{2ev_0}{\mu g}=\frac{2e}{\mu}\sqrt{\frac{2h}{g}}$$
$$l_1=v_1t_1=\frac{2e(\alpha-e){v_0}^2}{(1+\alpha)\mu g}=\frac{4e(\alpha-e)}{(1+\alpha)\mu}\cdot h$$
となる。
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さて，$$n$$回目の衝突直後の小球と木片の速さを$$v_n,V_n$$，$$n+1$$回目の衝突直前の木片の速さを$${V_n}^\prime$$とおく。木片は動摩擦力によって等加速度運動をするから，$$v_n$$は，$$V_n$$と$${V_n}^\prime$$の平均となり，したがって$$n$$回目衝突直後の相対速さと$$n+1$$回目衝突直前の相対速さは等しくなる。
1回目衝突直後の相対速さは$$V_1-v_1=ev_0$$であり，1回衝突ごとに相対速さは$$e$$の比で減ずるから，$$n$$回目衝突直後および$$n+1$$回目衝突直前の相対速さは$$e^nv_0$$となる。
以上を整理すると，$$n$$回目衝突直後の小球の速さ$$v_n$$に対して，
$$V_n=v_n+e^nv_0 \quad , \quad {V_n}^\prime=v_n-e^nv_0$$
の関係が成立する。
さて，$$n+1$$回目の衝突前後の運動量保存により
$$\alpha v_n+{V_n}^\prime=\alpha v_{n+1}+V_{n+1}$$
これに対して上の関係を考慮して整理すると，
$$v_{n+1}-v_n=-\frac{e^n(1+e)}{1+\alpha}\cdot v_0$$
を得る。したがって，
$$v_n=v_1-\frac{(1+e)v_0}{1+\alpha}\sum_{k=1}^{n-1} e^k=\left\{1-\frac{(1+e)(e-e^n)}{(1-e)(\alpha-e)}\right\}\cdot v_1$$
となる。
一方，$$n$$回目衝突と$$n+1$$回目衝突の間の時間を$$t_n$$，移動距離を$$l_n$$とすれば，まず
$${V_n}^\prime=V_n-\mu gt_n$$
だから，
$$t_n=\frac{V_n-{V_n}^\prime}{\mu g}=\frac{2e^nv_0}{\mu g}=e^{n-1}t_1$$
さらに上の結果を用いて，
$$l_n=v_nt_n=\left\{1-\frac{(1+e)(e-e^n)}{(1-e)(\alpha-e)}\right\}\cdot v_1\cdot e^{n-1}t_1= \left\{e^{n-1}-\frac{1+e}{(1-e)(\alpha-e)}\times(e^n-e^{2n-1})\right\}\cdot l_1$$
を得る。
結局，小球と木片の両者が最初の衝突をしてから，相対速度が0になるまでの時間$$T_1$$と移動距離$$L_1$$は，次のようになる。
$$T_1=\sum_{n=1}^\infty t_n=\frac{t_1}{1-e}=\frac{2e}{(1-e)\mu}\sqrt{\frac{2h}{g}}$$
$$L_1=\sum_{n=1}^\infty l_n=\left\{\frac{1}{1-e}-\frac{1+e}{(1-e)(\alpha-e)}\left(\frac{e}{1-e}-\frac{e}{1-e^2}\right)\right\}\cdot l_1=\frac{4e(\alpha-e-\alpha e)}{(1+\alpha)(1-e)^2\mu}\cdot h$$
時間$$T_1$$後の両者の速さは，
$$v_\infty = \left\{1-\frac{(1+e)e}{(1-e)(\alpha-e)}\right\}\cdot \frac{\alpha-e}{1+\alpha}v_0 = \frac{\alpha-2e-\alpha e}{(1-e)(1+\alpha)}\cdot v_0$$
となり，静止するまでの時間$$T_2$$および移動距離$$L_2$$を計算すると，
$$T_2 = \frac{\alpha-2e-\alpha e}{1-e}\cdot\frac{v_0}{\mu g} \quad , \quad L_2=\frac{(\alpha-2e-\alpha e)^2}{2(1+\alpha)(1-e)^2}\cdot\frac{{v_0}^2}{\mu g}$$
を得る。
たとえば，$$\alpha=4,e=1/2,\mu=1/5$$のとき，
$$T_1+T_2=10\sqrt{\frac{2h}{g}}+10\sqrt{\frac{2h}{g}}=20\sqrt{\frac{2h}{g}}$$
$$L_1+L_2=12h+4h=16h$$
となる。
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『Phun』によるシミュレーション
$$\alpha=4,e=1/2,\mu=1/5$$の場合で，衝突間の時間が$$e$$の比で減少することや，$$L_1+L_2=16h$$に近く（$$13h$$ぐらい？）なることが確認できる。斜面と水平面の接続がなめらかでないから，ここでのエネルギー散逸も無視できないようだ。距離も時間もやや短めになるのはそのせいらしい。ちなみに，衝突後すべり距離を$$16h$$としてエネルギー散逸を割り引いた初期高さを逆算すると，その$$h$$で計算した時間は実測とほぼ一致した。
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=69&file=collision3.phn
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