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ファインマンのトラス問題 - (2009/03/30 (月) 23:25:59) のソース

****ファインマンのトラス問題
[[「物理のかぎしっぽ数式掲示板」>http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=res&no=23280&mode2=preview_pc]]に寄せられた質問から，
「ファインマン物理学」の力学の演習にあるトラスの問題。
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&ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=85&file=Truss0.bmp)
図のようなトラスで、対角線の支柱はみな5の長さ、水平の支柱はみな6の長さである。
つなぎめは蝶番でみな自由に動く。トラスの重さは無視できる。
a)　図のように荷をかけたとき、支柱のどれとどれは、針金で代用できるか。
b)　支柱BD,DEの内部にはたらく力を求めよ。
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本来，[[仮想仕事の原理]]の問題。しかし，a)ですべての力の正負を仮想仕事で判断するのはなかなか難しい。ファインマンダイヤグラムを発明するようなイメージの天才ならばまだしも。コツとしては，支柱の1本をばねに置き換えてEを下に引くとき，ばねが伸びるか縮むか…ということである。伸びる場合はもとの支柱内部の力は張力，縮む場合は抗力であったことになる。

いよいよとなれば，違反ではあるがつりあいから各連結が受ける力を求めるしかない。
連結点AおよびBが支柱ABから受ける張力を$$T_{AB}$$のように表せば、
たとえば連結点Aにおいて，

$$\frac{3}{5}T_{AB}+T_{AC}=0$$
$$\frac{1}{3}W+\frac{4}{5}T_{AB}=0$$

といった具合に連立させて、順次求めていけば

$$T_{AB}=-\frac{5}{12}W\quad,\quad T_{AC}=\frac{1}{4}W\quad,\quad T_{BC}=\frac{5}{12}W\quad,\quad T_{BD}=-\frac{1}{2}W$$
$$T_{CD}=-\frac{5}{12}W\quad,\quad T_{CE}=\frac{3}{4}W\quad,\quad T_{DE}=\frac{5}{12}W\quad,\quad T_{DF}=-W$$
$$T_{EF}=\frac{5}{6}W\quad,\quad T_{EG}=\frac{1}{2}W\quad,\quad T_{FG}=-\frac{5}{6}W$$

を得る。負になったものは抗力になるわけだ。
したがって，a)の答えは，張力が正であるAC,BC,CE,DE,EF,EGとなる。
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せめて，b)は仮想仕事の原理をちゃんと使おう。

&ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=85&file=Truss2.JPG)

BDを縮めると，C点が下がる。
そこで，CGの水平から下がった角度を$$\it{\Delta}\theta$$とおくと，点Eの下がりは$$h=6\it{\Delta}\theta$$。
同時にDからCEにおろした垂線が$$\it{\Delta}\theta$$傾くので，これによるBDの縮みは$$4\it{\Delta}\theta$$である。

一方，ACが水平から下がる角度は$$2\it{\Delta}\theta$$となる。
同時にBからACにおろした垂線が$$2\it{\Delta}\theta$$傾くので，これによるBDの縮みは$$8\it{\Delta}\theta$$。
合計でBDは$$12\it{\Delta}\theta$$縮む。仮想仕事の原理により，求める抗力を$$F$$とすると

$$F\times 12{\it\Delta}\theta = W\times 6 \it{\Delta}\theta$$

となり，$$F = W/2$$を得る。
この結果は，ファインマンのテキストの解答と異なる。テキストが間違っているらしいことは，『Phun』によるシミュレーションでも確認できる。

同様にしてDEが受ける力$$5W/12$$を得る。
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#Video(http://www.youtube.com/watch?v=3h_nxY8cIas)
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