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****偏心軸で斜面をすべる円板
鉛直に立てた２枚の三角板にはさまれた円板が，偏心軸で三角板の斜辺にぶらさがってすべる運動について。T大学工学部の院試の過去問だが，Algodooシミュレーションによってその「不備」が浮かび上がった。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1373599348]]より。
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【問題】抜粋 [[実物はこちら>http://www.t.u-tokyo.ac.jp/tpage/for_prep/pdf/2010physJ.pdf]]
図のように，２枚の合同な三角平板が重ねて鉛直に固定され，そのすきまにはさまれた質量$$m$$，半径$$a$$の円板が，中心から$$h$$だけ離れた太さと質量が無視できる垂直軸によって，傾角$$\theta$$の三角板の斜辺にぶらさがって摩擦なくすべりおりる。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=525&file=Shamen-Enban.bmp)
軸とともに運動する座標系$$(x^\prime,y^\prime)$$において円板が静止するような特別な条件ですべっている場合，
(1) 軸が斜面から受ける抗力の大きさを$$R$$として，慣性系$$(x,y)$$において円板の重心Oの$$x$$方向，$$y$$方向の運動方程式を立てよ。
(2) 軸が受ける抗力の大きさ$$R$$を求めよ。
次に軸まわりの円板の微小振動を考える。
(3) 振動の周期$$T$$を求めよ。ただし，軸の加速度の変化は無視し，軸まわりの円板の慣性モーメントを$$I$$とせよ。
----
【解答】
(1)
$$m\ddot{x} = -R\sin\theta$$
$$m\ddot{y} = R\cos\theta - mg$$
(2)
束縛条件
$$\frac{\ddot{y}}{\ddot{x}} = \tan\theta$$
に(1)の結果を用いて，
$$\frac{R\cos\theta - mg}{-R\sin\theta} = \tan\theta$$
$$\therefore R = mg\cos\theta$$
座標系$$(x^\prime,y^\prime)$$から見ると，慣性力を含む力のつり合いおよび力のモーメントのつり合いにより，円板の加速度は$$g\sin\theta$$であり，AOは斜面に垂直であることがわかる。
(3)
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=525&file=Shamen-Enban2.bmp)
座標系$$(x^\prime,y^\prime)$$における慣性力を含む「みかけの重力加速度」は，斜面に垂直に$$g\cos\theta$$である。
円板の重心と軸を結ぶAOの，座標系$$(x^\prime,y^\prime)$$における上記の「静止位置」からの微小角変位を$$\phi$$とすると，軸まわりの回転の運動方程式は，
$$I\ddot{\phi} = -mg\cos\theta\times h \phi$$
となり，微小振動の周期
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgh\cos\theta}$$
を得る。
$$I = \frac{1}{2}ma^2 + mh^2$$
を用いると，
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{a^2 + 2h^2}{2gh\cos\theta}}$$
となる。
----
と，ここまで解いてAlogodooでシミュレートしてみた。すると，どうしても周期が合わない。たいていシミュレーション結果が合わない場合は，計算ミスであることが多いが，精査してもミスはみつからない。そのうち，シミュレーションによる周期は
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I_0}{mgh\cos\theta}$$
であることに気づいた。ここに，
$$I_0 = \frac{1}{2}ma^2$$
は，円板の重心まわりの慣性モーメントである。
そして，問題の展開をよくよく追跡してみると，このくいちがいは問題そのものの「不備」によって生じたものであることがわかった。実際は，軸の加速度は変化しなければならず，加速度が変化しないのは重心Oの（斜面方向成分の）方である。したがって，回転の運動方程式は重心まわりに立てなければならず，用いるべき慣性モーメントは$$I_0$$となるのである。
軸の加速度を変化しないものとする「近似」をとるのであれば，軸の質量は無視するのではなく，円板より十分大きいとすべきであった。そうすれば，[[斜面をすべる実験室内の振子]]でも論じたように，斜面を等加速度ですべる実験室内に「固定」された軸まわりの微小振動を考えることができ，その場合には軸まわりの慣性モーメント$$I$$が使えることになる。Algodooによるシミュレーションでも，軸の質量を十分大きくとってやると，周期は(3)の結果に一致を見たのである。
軸の質量を無視したことと，(3)において軸の加速度の変化を無視できるとしたことは，互いに矛盾する「簡略化」であり，無茶な題意に踏み込んでいると言わざるを得ない。
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あらためて運動方程式を立ててみる。斜面下方を$$x$$方向，斜面に垂直上方を$$y$$方向とする。重心の運動方程式は，
$$m\ddot{x} = mg\sin\theta$$
$$m\ddot{y} = R - mg\cos\theta$$
重心まわりの回転の運動方程式は，角変位$$\phi$$を微小であるとして
$$I_0\ddot{\phi} = -Rh\phi$$
ここで
$$R = mg\cos\theta$$
で一定であるとするのは，$$y$$方向の加速度が小さいことから許される近似であろう。すると，微小振動の周期は
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{mgh\cos\theta}{I_0}}$$
となる。密度一様な円板では，
$$T = \frac{2\pi a}{\sqrt{2gh\cos\theta}}$$
を得る。Algodooシーンの設定は，
$$a = 10{\rm [m]}, h = 6{\rm [m]}, \theta = \pi/3$$
で，理論値は8.2sec. シミュレーション値は8.1sec. であった。また，軸の質量を円板に比べて十分大きくすると，理論値は10.7sec. シミュレーション値は10.9秒であった。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=525&file=Shamen-Enban3.bmp)
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=525&file=Shamen-Enban4.bmp)
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****偏心軸で斜面をすべる円板
鉛直に立てた２枚の三角板にはさまれた円板が，偏心軸で三角板の斜辺にぶらさがってすべる運動について。T大学工学部の院試の過去問だが，Algodooシミュレーションによってその「不備」が浮かび上がった。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1373599348]]より。
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【問題】抜粋 [[実物はこちら>http://www.t.u-tokyo.ac.jp/tpage/for_prep/pdf/2010physJ.pdf]]
図のように，２枚の合同な三角平板が重ねて鉛直に固定され，そのすきまにはさまれた質量$$m$$，半径$$a$$の円板が，中心から$$h$$だけ離れた太さと質量が無視できる垂直軸によって，傾角$$\theta$$の三角板の斜辺にぶらさがって摩擦なくすべりおりる。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=525&file=Shamen-Enban.bmp)
軸とともに運動する座標系$$(x^\prime,y^\prime)$$において円板が静止するような特別な条件ですべっている場合，
(1) 軸が斜面から受ける抗力の大きさを$$R$$として，慣性系$$(x,y)$$において円板の重心Oの$$x$$方向，$$y$$方向の運動方程式を立てよ。
(2) 軸が受ける抗力の大きさ$$R$$を求めよ。
次に軸まわりの円板の微小振動を考える。
(3) 振動の周期$$T$$を求めよ。ただし，軸の加速度の変化は無視し，軸まわりの円板の慣性モーメントを$$I$$とせよ。
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【解答】
(1)
$$m\ddot{x} = -R\sin\theta$$
$$m\ddot{y} = R\cos\theta - mg$$
(2)
束縛条件
$$\frac{\ddot{y}}{\ddot{x}} = \tan\theta$$
に(1)の結果を用いて，
$$\frac{R\cos\theta - mg}{-R\sin\theta} = \tan\theta$$
$$\therefore R = mg\cos\theta$$
座標系$$(x^\prime,y^\prime)$$から見ると，慣性力を含む力のつり合いおよび力のモーメントのつり合いにより，円板の加速度は$$g\sin\theta$$であり，AOは斜面に垂直であることがわかる。
(3)
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=525&file=Shamen-Enban2.bmp)
座標系$$(x^\prime,y^\prime)$$における慣性力を含む「みかけの重力加速度」は，斜面に垂直に$$g\cos\theta$$である。
円板の重心と軸を結ぶAOの，座標系$$(x^\prime,y^\prime)$$における上記の「静止位置」からの微小角変位を$$\phi$$とすると，軸まわりの回転の運動方程式は，
$$I\ddot{\phi} = -mg\cos\theta\times h \phi$$
となり，微小振動の周期
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgh\cos\theta}$$
を得る。
$$I = \frac{1}{2}ma^2 + mh^2$$
を用いると，
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{a^2 + 2h^2}{2gh\cos\theta}}$$
となる。
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と，ここまで解いてAlogodooでシミュレートしてみた。すると，どうしても周期が合わない。たいていシミュレーション結果が合わない場合は，計算ミスであることが多いが，精査してもミスはみつからない。そのうち，シミュレーションによる周期は
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I_0}{mgh\cos\theta}$$
であることに気づいた。ここに，
$$I_0 = \frac{1}{2}ma^2$$
は，円板の重心まわりの慣性モーメントである。
そして，問題の展開をよくよく追跡してみると，このくいちがいは問題そのものの「不備」によって生じたものであることがわかった。実際は，軸の加速度は変化しなければならず，加速度が変化しないのは重心Oの（斜面方向成分の）方である。したがって，回転の運動方程式は重心まわりに立てなければならず，用いるべき慣性モーメントは$$I_0$$となるのである。
軸の加速度を変化しないものとする「近似」をとるのであれば，軸の質量は無視するのではなく，円板より十分大きいとすべきであった。そうすれば，[[斜面をすべる実験室内の振子]]でも論じたように，斜面を等加速度ですべる実験室内に「固定」された軸まわりの微小振動を考えることができ，その場合には軸まわりの慣性モーメント$$I$$が使えることになる。Algodooによるシミュレーションでも，軸の質量を十分大きくとってやると，周期は(3)の結果に一致を見たのである。
軸の質量を無視したことと，(3)において軸の加速度の変化を無視できるとしたことは，互いに矛盾する「簡略化」であり，無茶な題意に踏み込んでいると言わざるを得ない。
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あらためて運動方程式を立ててみる。斜面下方を$$x$$方向，斜面に垂直上方を$$y$$方向とする。重心の運動方程式は，
$$m\ddot{x} = mg\sin\theta$$
$$m\ddot{y} = R - mg\cos\theta$$
重心まわりの回転の運動方程式は，角変位$$\phi$$を微小であるとして
$$I_0\ddot{\phi} = -Rh\phi$$
ここで
$$R = mg\cos\theta$$
で一定であるとするのは，$$y$$方向の加速度が小さいことから許される近似であろう。すると，微小振動の周期は
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I_0}{mgh\cos\theta}}$$
となる。密度一様な円板では，
$$T = \frac{2\pi a}{\sqrt{2gh\cos\theta}}$$
を得る。Algodooシーンの設定は，
$$a = 10{\rm [m]}, h = 6{\rm [m]}, \theta = \pi/3$$
で，理論値は8.2sec. シミュレーション値は8.1sec. であった。また，軸の質量を円板に比べて十分大きくすると，理論値は10.7sec. シミュレーション値は10.9秒であった。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=525&file=Shamen-Enban3.bmp)
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=525&file=Shamen-Enban4.bmp)
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