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****水位下降速度一定のタンク形状
４次関数$$y=ax^4$$を$$y$$軸まわりに回転させた形状のタンクの底に小孔をあけると，排水による水位下降の速度が一定になる。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1277382782]]より。
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【問題】
上部が開放され、底部に小孔があり、栓がしてある容器がある。この容器は、水を満たした後、小孔の栓を外すと、水位が一定速度で下降するような形状に設計したい。このためには、水深$$y$$と水面面積$$S(y)$$の関係はどのようにしておくべきか、説明せよ。ただし、小孔から水を流出させるときの流出速度$$v$$は$$\sqrt{2gy}$$に比例するものとする。($$g$$:重力加速度)
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【解答】
小孔の面積を$$s$$，流出速度を
$$v = \alpha\sqrt{2gy}$$
また，水位の下降速度
$$V = -\frac{dy}{dt}$$
とする。水量の保存により
$$SV = sv$$
$$\therefore V = \frac{sv}{S} = \frac{s\alpha\sqrt{2gy}}{S} = const.$$
$$\therefore S(y) \propto \sqrt{y}$$
となる。$$y$$軸まわりの回転体として設計するのであれば，
$$y = ax^4$$
を回転させた形状とすればよい。水位による水時計はこの形状につくれば，時間目盛りの間隔をほぼ一定にできるだろう。ただし，小孔が小さすぎて漏出状態になるようではいけない。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=532&file=%E6%B0%B4%E4%BD%8D%E4%B8%8B%E9%99%8D%E9%80%9F%E5%BA%A6%E4%B8%80%E5%AE%9A.bmp)
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****水位下降速度一定のタンク形状
４次関数$$y=ax^4$$を$$y$$軸まわりに回転させた形状のタンクの底に小孔をあけると，排水による水位下降の速度が一定になる。[[Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1277382782]]より。
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【問題】
上部が開放され、底部に小孔があり、栓がしてある容器がある。この容器は、水を満たした後、小孔の栓を外すと、水位が一定速度で下降するような形状に設計したい。このためには、水深$$y$$と水面面積$$S(y)$$の関係はどのようにしておくべきか、説明せよ。ただし、小孔から水を流出させるときの流出速度$$v$$は$$\sqrt{2gy}$$に比例するものとする。($$g$$:重力加速度)
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【解答】
小孔の面積を$$s$$，流出速度を
$$v = \alpha\sqrt{2gy}$$
また，水位の下降速度
$$V = -\frac{dy}{dt}$$
とする。水量の保存により
$$SV = sv$$
$$\therefore V = \frac{sv}{S} = \frac{s\alpha\sqrt{2gy}}{S} = const.$$
$$\therefore S(y) \propto \sqrt{y}$$
となる。$$y$$軸まわりの回転体として設計するのであれば，
$$y = ax^4$$
を回転させた形状とすればよい。水位による水時計はこの形状につくれば，時間目盛りの間隔をほぼ一定にできるだろう。ただし，小孔が小さすぎて漏出状態になるようではいけない。
#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=532&file=%E6%B0%B4%E4%BD%8D%E4%B8%8B%E9%99%8D%E9%80%9F%E5%BA%A6%E4%B8%80%E5%AE%9A.bmp)
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