電気双極子場

物理のかぎしっぽ数式掲示板というややハイレベルなQ&A掲示板がある。ここに次の質問が寄せられた。

「問題」
電気双極子：微小区間dで並ぶ点電荷qと-qの組。これはイオン結合性分子など分子の分極を表すモデルに使われる。
双極子モーメント：P=qdに比べて十分に遠方の点Pでの電位Φ(r)を求めなさい。
※答えは
$\phi(\boldsymbol{r})=\frac{\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r}}{4\pi\varepsilon_0r^3}$
になるそうです。

次に電場を求めなさい。
※答えは
$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(-\frac{\boldsymbol{P}}{r^3}+\frac{3(\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r})\boldsymbol{r}}{r^5}\right)$
になるそうです。

この掲示板はかなり刺激的で，なかなかついていけない議論も多いが，これはなんとかできそう？
で，やってみた。
$-q$ から $+q$ までのベクトルを $\boldsymbol{d}$ ，また $k_0=1/(4\pi\varepsilon_0)$ として，
$+q$ による電位
$\phi_+(\boldsymbol{r}) = k_0\frac{q}{\sqrt{(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{d}/2)^2}} \simeq \frac{k_0q}{r}\left(1+\frac{\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{r}}{2r^2}\right)$
$-q$ による電位
$\phi_-(\boldsymbol{r}) = -k_0\frac{q}{\sqrt{(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{d}/2)^2}} \simeq -\frac{k_0q}{r}\left(1-\frac{\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{r}}{2r^2}\right)$
したがって，
$\phi(\boldsymbol{r}) = \phi_+(\boldsymbol{r}) + \phi_-(\boldsymbol{r}) = \frac{k_0\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r}}{r^3}$
電場は電位の勾配をとればよいが，これがなかなか大変。
$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = -\nabla\phi(\boldsymbol{r}) = -k_0\nabla\left(\frac{\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r}}{r^3}\right)$
一般に，
$[\nabla(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})]_i = \bigtriangledown_i (\sum_{j=1}^3 a_jb_j) = \sum_{j=1}^3(b_j\bigtriangledown_ia_j+a_j\bigtriangledown_ib_j)$
すなわち，
$\nabla(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}) = (\nabla\circ\boldsymbol{a})\boldsymbol{b} + (\nabla\circ\boldsymbol{b})\boldsymbol{a}$
となる。ただし，右辺は行列としての積をとるものとし，「 $\circ$ 」は直積を意味する。すなわち，
$(\nabla\circ\boldsymbol{a})\boldsymbol{b} = \begin{pmatrix}\bigtriangledown_x\\\bigtriangledown_y\\\bigtriangledown_z\end{pmatrix} \begin{matrix}(a_x,a_y,a_z)\\ \\ \\\end{matrix}\begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\end{pmatrix}$
$\boldsymbol{P}$ は定ベクトルであるから，結局
$\nabla\left(\frac{\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r}}{r^3}\right) = \nabla\circ\left(\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\right) \boldsymbol{P}$
となる。 $\boldsymbol{P}$ の係数は，
$\left[\nabla\circ\left(\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\right)\right]_{ij} = \bigtriangledown_i\left(\frac{x_j}{r^3}\right) = \frac{\delta_{ij}}{r^3} - \frac{3x_ix_j}{r^5}$
であるから，
$\nabla\left(\frac{\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r}}{r^3}\right) = \left(\frac{\bf{1}}{r^3} - \frac{3\boldsymbol{r}\circ\boldsymbol{r}}{r^5}\right)\boldsymbol{P} = \frac{\boldsymbol{P}}{r^3} - \frac{3(\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r})\boldsymbol{r}}{r^5}$
よって，
$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=k_0\left(-\frac{\boldsymbol{P}}{r^3}+\frac{3(\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r})\boldsymbol{r}}{r^5}\right)$
となる。（終わり）

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最終更新：2009年01月06日 23:42

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